Математическая энциклопедия - ковариационный анализ

совокупность методов математич. статистики, относящихся к анализу моделей зависимости среднего значения нек-рой случайной величины У от набора неколичественных факторов Fи, одновременно, от набора количественных факторов х. По отношению к У переменные хназ. сопутствующими; факторы Fзадают сочетания условий качественной природы, при к-рых получены наблюдения У и х, и описываются с помощью так наз. индикаторных переменных; среди сопутствующих и индикаторных переменных могут быть как случайные, так и не случайные (контролируемые в эксперименте); если случайная величина У является вектором, то говорят о многомерном К. а.

Основные теоретические и прикладные проблемы К. а. относятся к линейным моделям. В частности, если анализируется схема из пнаблюдений Y1..., Yn с рсопутствующими переменными и kвозможными типами условий эксперимента, то линейная модель соответствующего К. а. задается уравнениями

где индикаторные переменные fij равны 1, если j-e условие эксперимента имело место при наблюдении У,-, и равны 0 в ином случае; коэффициенты qj определяют эффект влияния j-го условия; xi^(s)значение сопутствующей переменной х ^(s) при к-рой получено наблюдение Yi, i=1,...,n; s=1,..., p; bs(Fi)значения соответствующих коэффициентов регрессии У по x^(s), вообще говоря, зависящие от конкретного сочетания условий эксперимента, т. е. от вектора Fi= (fi1, ...,fik); ei(Fi)случайные ошибки, имеющие нулевые средние значения. Основное содержание К. а.в построении статистич. оценок для неизвестных параметров q1, ..., qk; b1, ..., bp и статистич. критериев для проверки различных гипотез относительно значений этих параметров.

Если в модели (*) постулировать априори b1=...=bp=0, то получится модель дисперсионного анализа;если из (*) исключить влияние неколичественных факторов (положить q1=... =qk=0), то получится модель регрессионного анализа. Своим названием К. а. обязан тому обстоятельству, что в его вычислениях используются разбиения ковариаций величин У и Xточно так же, как в дисперсионном анализе используются разбиения суммы квадратов отклонений У.

Лит.:[1] Шеффе Г., Дисперсионный анализ, пер. с англ., М., 1963; [2] Кендалл М. Д ж., Стьюарт А., Многомерный статистический анализ и временные ряды, пер. с англ., М., 1976; [3] "Biometrics", 1957, v. 13, № 3.

С. А. Айвазян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985