Математическая энциклопедия - ковариантный тензор

валентности -тензор типа (0, s), элемент тензорного произведения sэкземпляров пространства Е*, сопряженного (дуального) к векторному пространству Енад полем К. Относительно операции сложения К. т. одной и той же валентности и умножения их на скаляр TS(E)является в свою очередь векторным пространством над К. Пусть Еконечномерно и пусть e1, ..., е пбазис в Е, а е ¹,.. ., е ⁿсопряженный с ним базис в Е*. Тогда dim Ts(E)=n^s и базис в TS(E)состоит из всевозможных разложимых тензоров вида Любой К. г. может быть представлен в виде Числа ti1...is наз. координатами или компонентами К. т. относительно базиса e1 ..., en в Е. При изменении базиса в Епо формулам е i' = а ⁱi' е i и соответственно базиса в Ts(E)координаты К. т. t изменяются по так наз. ковариантному закону

При валентности К. т. наз. ковариантным век тором;. при К. т. можно инвариантным образом связать с s-линейным отображением прямого произведения (s раз) в К, приняв координаты К. т. tотносительно базиса e1 ..., en за значения r-линейного отображения tна базисных в E^s векторах (ei1 ..., eis ), и обратно; поэтому иногда К. т. определяют как полилинейный функционал на E^s.

Лит. см. при статье Ковариантный вектор.

И. X. Сабитов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985