Математическая энциклопедия - ковариантное дифференцирование

абсолютное дифференцирование, операция, инвариантным образом определяющая понятия производной и дифференциала для полей геометрич. объектов на многообразиях векторов, тензоров, форм и т. д. Основные понятия теории К. д. (под названием абсолютное дифференциальное исчисление) были даны в конце 19 в. в работах Г. Риччи (G. Ricci) и в наиболее полной форме изложены им в 1901 в совместной работе его с Т. Леви-Чивита (Т. Levi-Civita) (см. [1]). Сначала теория К. д. строилась на римановых многообразиях и предназначалась в первую очередь для исследования инвариантов дифференциальных форм. Впоследствии оказалось, что определение и свойства К. д. естественным образом связаны с введенными позже понятиями связности и параллельного перенесения на многообразиях, и теперь теория К. д. строится в общих рамках теории связностей. Как аппарат тензорного анализа, К. д. широко употребляется в теоретич. физике, особенно в общей теории относительности.

Пусть на n-мерном многообразии Мвведена аффинная связность и соответствующее параллельное перенесение векторов и вообще тензоров. Пусть Xгладкое векторное поле, и Uтензорное поле типа (r, s), т. е. г раз контравариантное и s раз ковариантное; ковариантной производной (относительно данной связности) тензорного поля Uв точке вдоль векторного поля Xназ. тензор того же типа (r, s)

где x(t)точка интегральной кривой у х векторного поля Xс начальным условием x(0)=p, U р и UX(t)локализации (значения) тензорного поля Uв точках ри x(t)соответственно, -результат параллельного перенесения тензора Ux(t) вдоль gX из x(t)в р. Таким образом, основная идея определения ковариантной производной тензорного поля Uвдоль векторного поля Xзаключается в том, что ввиду отсутствия операций между тензорами U р и Ux(t), принадлежащими разным слоям тензорного расслоения над М, т. е. принадлежащими тензорным пространствам Т ^rs над разными касательными к Мплоскостями Т р М и Т х(t) М, в качестве "приращения" тензора Uрассматривается разность между и образом параллельно перенесенного в Т ^rs( Т р М )вдоль gX тензора и дальше, как обычно, берется предел отношения этого "приращения" к приращению аргумента t. В частности, если для точек x(t), близких к р, поле Uполучено параллельным перенесением тензора U р вдоль gX, то и тем самым в общем случае ковариантная производная поля Uв точке р вдоль Xопределяет начальную скорость отличия поля Uвдоль gX от результата параллельного перенесения U р вдоль gX Для тензорных полей нулевой валентности, т. е. для функций f из кольца дифференцируемых функций на М

что приводит к совпадению с производной fпо вектору X р, т. е. с Xpf. При Х р=0 для любого тензорного поля U, по определению, считается (С XU)p=0. Введение ковариантной производной позволяет определить ковариантный дифференциал DU для тензорного поля Uвдоль гладкой кривой у(t)как и его можно рассматривать как главную линейную часть "приращения" тензора U(в описанном выше смысле) при перемещении точки вдоль уна бесконечно малый участок

Знание для тензорного поля Uтипа (r, s)в каждой точке вдоль каждого векторного поля X позволяет ввести два поля: 1) поле ковариантного дифференциала D U как тензорной 1-формы со значениями в модуле T^rs(M), определенной на векторах Xпо формуле 2) поле ковариантной производной как тензорного поля типа (r,s+1), канонически соответствующего форме DU и действующего на 1-формах wⁱ и векторах X;по формуле

Обычно под ковариантным дифференциалом понимается не сама 1-форма DU, а ее значения на векторах X, и в таком толковании (DU){X )тоже превращается в тензорное поле типа (r, s), локализация к-рого, в частности, при р = g(О) и Х=у совпадает с введенным выше ковариантным дифференциалом вдоль кривой y(t). Иногда ковариантная производная С U называется градиентом тензора U; а производная ковариантным дифференциалом.

Если х'локальные координаты,базисные векторные поля, е ⁱ сопряженные базисные 1-формы, Xⁱ и координаты векторного и тензорного полей в этих базисах,коэффициенты введенной на Маффинной связности, то, обозначая через или координаты тензорного поляСU, получают следующие выражения (для примера взяты r=2, s=l)

где операция свертки по последним (третьему) контравариантному и (второму) ковариантному индексам.