Математическая энциклопедия - локализация

в коммутативной алгебре переход от коммутативного кольца Ак частных кольцу A[S^-1], где Sнек-рое подмножество А. Кольцо A[S^-1]можно определить как решение задачи об универсальном отображении Ав кольцо, при к-ром все элементы множества S становятся обратимыми. Имеются, однако, и явные конструкции А[S^-1]:

1) как множества дробей вида a/s, где a s является произведением элементов из S(при этом две дроби a/s и a'/s' считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда найдется s", являющийся произведением элементов из Sи такой, что складываются и умножаются дроби по обычным правилам);

2) как факторкольцо кольца многочленов A[Xs], по идеалу, порожденному многочленами

3) как индуктивный предел индуктивной системы A-модулей где iпробегает естественно упорядоченный свободный коммутативный моноид N^(s). При этом все А i изоморфны А, а гомоморфизмы -> совпадают с умножением на

Кольцо Аканонически отображается в A[S^-1]и превращает последнее кольцо в А-алгебру. Это отображение инъективно тогда и только тогда, когда S не содержит ни одного делителя нуля в А, Напротив, если Sсодержит нильпотентный элемент, то A[S^-1]=0.

Без потери общности множество Sможно считать замкнутым относительно произведения (такое множество наз. мультипли кативным, или мультипликативной системой). В этом случае кольцо A[S^-1]обозначается также S^-1A или AS- Важнейшие примеры мультипликативных систем:

а) множество {sⁿ} всех степеней элементов

б) множество то есть дополнение к простому идеалу Соответствующее кольцо частных является локальным и обозначается

в) множество Rвсех не делителей нуля в А.

Кольцо R^-1A наз. полным кольцом частных кольца А. Если Ацелостно, R^-1A=A(0) является полем частных.

Операция локализации без труда переносится на произвольные A-модули М, если положить

Переход от Мк М[S^-1]является точным функтором. Иначе говоря, A-модуль A[S^-1]является плоским. Л. коммутирует с прямыми суммами и индуктивными пределами.

С геометрич. точки зрения Л. означает переход к открытому подмножеству. Точнее, для спектр Spec A[s^-1]канонически отожествляется с открытым (в Зариского топологии).подмножеством состоящим из простых идеалов не содержащих s. Более того, эта операция позволяет связать с каждым A-модулем Мквазикогерентный пучок на аффинной схеме Spec A, для к-рого

На Л. можно смотреть как на операцию, позволяющую обратить морфизмы умножения на в категории A-модулей. При таком подходе операция Л. допускает широкое обобщение на произвольные категории (см. Локализация в категориях).

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. В. ИДанилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985