Математическая энциклопедия - локальные когомологии

со значениями в пучке абелевых групп когомоло-гии со значениями в пучке, носители к-рых содержатся в заданном подмножестве. Пусть X - топологии, пространство, пучок абелевых групп на X, Z - локально замкнутое подмножество в X, т. е. замкнутое подмножество нек-рого открытого в Xподмножества V, тогда через обозначают подгруппу в состоящую из сечений пучка с носителями в Z. Если фиксировать Z, то соответствие определяет точный слева функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Значение соответствующего i-го правого производного функтора на пучке обозначают через и наз. i-й группой локальных когомологий пространства Xсо значениями в относительно Z. При этом

Пусть пучок на X, отвечающий предпуч-ку, к-рый сопоставляет любому открытому подмножеству группу Соответствие является точным слева функтором из категории пучков абелевых групп на Xв нее же. Значение его i-го правого производного функтора на пучке обозначается через и наз. пучком г'-х локальных когомологий пучка относительно Z. Пучок ассоциирован с предпучком, сопоставляющим открытому подмножеству группу

Существует спектральная последовательность сходящаяся к у к-рой (см. [2], [3]).

Пусть Z - локально замкнутое подмножество в X, Z'- замкнутое подмножество в тогда имеют место точные последовательности:

Если Zесть все X,a Z'- замкнутое подмножество в X, то последовательность (2) дает точную последовательность

и систему изоморфизмов

Пучки наз. i-ми лакунарными пучками пучка и имеют важные приложения к вопросу о продолжении сечений и классов когомологий пучка заданных на на все X(см. [4]).

Если X - локально нётерова схема, квазикогерентный пучок на X, Z - замкнутая подсхема в X, то также квазикогерентные пучки на X. Если когерентный пучок идеалов на X, задающий подсхему Z, то имеют место изоморфизмы

Важными для приложений являются следующие критерии тривиальности и когерентности пучков локальных когомологий (см. [3], [4]).

Пусть X - локально нётерова схема или комплексное аналитич. ространство, Z - локально замкнутая подсхема или аналитич. одпространство в когерентный пучок -модулей, когерентный пучок идеалов, задающий Z. Пусть