Математическая энциклопедия - локальное кольцо

коммутативное кольцо с единицей, имеющее единственный максимальный идеал. Если А - Л. к. с максимальным идеалом то факторкольцо является полем и наз. полем вычетов Л. к. А.

Примеры Л. к. Любое поле или кольцо нормирования является локальным. Локально и кольцо формальных степенных рядов над полем kили над любым Л. к. Напротив, кольцо многочленов при не локально. Пусть X - топологич. пространство (или дифференцируемое многообразие, или аналитич. ространство, или алгебраич. многообразие), а х - точка X. Пусть А - кольцо ростков в точке хнепрерывных функций (соответственно дифференцируемых, аналитических или регулярных функций); тогда А - Л. к., максимальный идеал к-рого состоит из ростков функций, обращающихся в 0 в точке х.

К Л. к. приводят нек-рые общие теоретико-кольцевые конструкции, важнейшей из к-рых является локализация. Пусть А коммутативное кольцо, а простой идеал А. Кольцо , к-рое состоит из дробей вида , где является локальным и наз. локализацией кольца Ав Максимальным идеалом кольца является идеал а поле вычетов отождествляется с полем частных целостного факторкольца Другие конструкции, приводящие к Л. к., гензелизация или пополнение кольца относительно нек-рого максимального идеала. Любое факторкольцо Л. к. также локально.

Свойство кольца А(или А-модуля М, или А-алгебры В).наз. локальным свойством, если выполнение его для А(или М, или В).эквивалентно выполнению его для колец (соответственно модулей или алгебр ) для всех простых идеалов кольца А(см. Локальное свойство).

Степени mⁿ максимального идеала Л. к. Аопределяют базис окрестностей нуля так наз. топологии локального кольца (или m-адической топологии). Для нётерова Л. к. эта топология отделима (теорема К р у л л я), а любой его идеал является замкнутым.

Далее рассматриваются только нётеровы локальные кольца. Л. к. наз. полным локальным кольцом, если оно полно относительно m-адической топологии; в этом случае В полном Л. к. -адическая топология слабее любой другой отделимой топологии (теорема Шевалле). Любое полное Л. к. представляется как факторкольцо кольца формальных степенных рядов, где S - поле (в равнохарактеристическом случае) или полное кольцо дискретного нормирования (в случае разных характеристик). Эта теорема позволяет доказать, что полные Л. к. обладают рядом специфич. свойств, отсутствующих у произвольных нётеровых Л. к. (См. [5]), напр. полное Л. к. является превосходным кольцом.

Более тонкое, количественное исследование Л. к. Асвязано с применением понятия присоединенного градуированного кольца = Пусть Н А (п) - размерность векторного пространства над полем вычетов А/m; как функция целого аргумента пона наз. функцией Гильберта Самюэля (или характеристической ф у н к ц и е й) Л. к. А. При больших пэта функция совпадает с нек-рым многочленом от п, к-рый наз. многочленом Гильберт аСамюэля Л. к. А (см. также Гильберта многочлен). Этот факт можно выразить в терминах ряда Пуанкаре: формальный ряд

является рациональной функцией вида