Математическая энциклопедия - локальное свойство

в коммутативной алгебре свойство Ркоммутативного кольца Аили А-модуля М, к-рое верно для кольца А(модуля М).тогда и только тогда, когда аналогичное свойство выполняется для локализаций кольца А(модуля М).относительно всех простых идеалов кольца А, т. е. свойство, к-рое выполняется глобально тогда и только тогда, когда оно выполняется всюду локально. Часто вместо множества всех простых идеалов можно ограничиться рассмотрением всех максимальных идеалов кольца А. Эта терминология становится понятной, если сопоставить кольцу Атопологич. пространство Spec А(спектр кольца А), состоящее из всех простых идеалов А. Тогда утверждение "Р верно для А" эквивалентно утверждению "Р выполняется на всем пространстве Spec A", а утверждение "Р верно для всех " эквивалентно утверждению "каждая точка пространства Spec Aобладает окрестностью, в к-рой выполняется Р".

Примеры Л. с. Область целостности А целозам-кнута в своем поле частных тогда и только тогда, когда целозамкнуты локализации для всех максимальных идеалов кольца А. Гомоморфизм A-модулей является изоморфизмом (мономорфизмом, эпиморфизмом, нулевым) тогда и только тогда, когда отображение локализованных модулей является таковым для всех максимальных идеалов кольца А.

Напротив, свойство A-модуля М быть свободным не является локальным.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971. Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985