Математическая энциклопедия - локально конечное покрытие

покрытиетопологич. пространства его подмножествами такое, что у каждой точки есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов этого покрытия. Не из всякого открытого покрытия прямой можно выделить Л. к. п.: достаточно рассмотреть монотонную последовательность интервалов неограниченно растущих по длине. Оказывается, возможность выделить из любого открытого покрытия пространства Л. к. п. равносильна его бикомпактности. Существенно новое содержание несет идея локальной конечности в соединении с понятием вписанности. Теорема Стоуна утверждает, что в любое открытое покрытие произвольного метрич. пространства можно вписать Л. к. п. Хаусдорфовы пространства, обладающие последним свойством, наз. паракомпактами. Л. к. п. важны не только своим участием в определении паракомпактности. Требование локальной конечности играет существенную роль в конструкциях, принадлежащих теории размерности, в формулировках и доказательствах разного рода аддиционных теорем. Существование в регулярном пространстве базы, распадающейся в объединение счетного семейства локально конечных открытых покрытий, равносильно метризуемости этого пространства. Открытые Л. к. п. нормальных пространств служат построению разбиения единицы на этом пространстве, подчиненного этому покрытию. С помощью разбиений единицы строятся, в частности, стандартные отображения многообразий в евклидовы пространства. Требование локальной конечности покрытия не обязательно соединять с предположением о его открытости. Локальная конечность покрытия пространства автоматически влечет, что в этом покрытии "достаточно много" множеств, близких по свойствам к открытым. Если в любое открытое покрытие регулярного пространства можно вписать какое-нибудь Л. к. п., то пространство паракомпактно. Рассматриваются также локально конечные семейства множеств в пространстве, определяемые аналогично, но не обязанные покрывать пространство. Специальный их случай представляют дискретные семейства множеств такие семейства множеств, что у каждой точки всего пространства есть окрестность, пересекающая не более одного элемента этого семейства. Дискретные семейства важны в связи с изучением отделимости в пространстве. Так, выделяются коллективно нормальные пространства требованием: любое дискретное семейство множеств отделяется дискретным семейством окрестностей. С последним условием прямо связана задача комбинаторного продолжения локально конечных семейств множеств до локально конечных семейств открытых множеств.

Лит.:[1] Engeiking R-, General Topology, Warsz., 1977; [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974;

[3] Александров П. С., "С. г. Acad. sci.", 1924, t. 178. p. 185-87; [4] Stone A. H., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1948. v. 54, p. 977-82; [5] M i h a e i E., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1953, v. 4, № 5, p. 831 38. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985