Математическая энциклопедия - локальных вариаций метод

один из прямых методов численного решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты и управляющие функции, основанный на варьировании в пространстве состояний (см. [1] [3]).

В Л. в. м. исходная задача оптимального управления, заданная в форме Лагранжа задачи, приводится в результате дискретизации по аргументу tи фазовому вектору хк задаче минимизации аддитивного функционала

при условиях

где xk, и k - векторы фазовых координат и управлений в узле tk (имеющие размерности соответственно пи m), Gk заданные области (n+m) -мерного пространства (G0 и GN описывают граничные условия), шаг разбиения исходного интервала [t0, Т]для независимого переменного. Существенным для Л. в. м. является условие равенства размерностей n=m векторов хи и, при к-ром построение элементарной операции оказывается достаточно простым. Под элементарной операцией понимается определение управления uk, переводящего систему из точки (tk, xk).в близкую точку (tk+1, xk+1). При равенстве размерностей векторов хи ии при нек-рых дополнительных условиях управление и k определяется на каждом интервале (tk, tk+1) из решения системы пуравнений (2), полученной в результате конечноразностной аппроксимации системы дифференциальных уравнений исходной вариационной задачи.

Пусть в качестве начального приближения задана нек-рая ломаная для к-рой выполнены условия (2), (3). Алгоритм Л. в. м. состоит в последовательном улучшении положения узлов, через к-рые проходит ломаная Г 0, осуществляемом в результате поочередного локального варьирования каждой j-й компоненты вектора х k. На каждом участке от tk до tk+2, k=0, 1, ..., при фиксированных xk, и xk+2 каждая j-я компонента вектора х/, поочередно варьируется с шагом hj>0. Если в результате этого варьирования значение функционала (1) уменьшается (при выполнении условий (2), (3)), то аналогичное варьирование производится с очередной (j+1) -й компонентой вектора х k, в противном случае ;'-я компонента варьируется с шагом (-hj). Такое локальное варьирование осуществляется последовательно для всех узлов ломаной Г 0. В результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная Г 1, на к-рой функционал (1) принимает значение, не большее чем на начальном приближении Г 0. Последующие итерации выполняются аналогично. При необходимости производится уменьшение шагов hj и Приближенное решение исходной вариационной задачи определяется путем интерполяции по найденным значениям управления на каждом шаге.

При m=n=1 решение, полученное Л. в. м. при заданных значениях удовлетворяет конечноразностной аппроксимации уравнения Эйлера с точностью до членов порядка (см. [3]).

Если варьирование исходной ломаной Г 0 не ограничивается поочередным варьированием ее узлов, а осуществляется на более полном графе, соответствующем выбранным шагам и hj и включающем ломаную Г 0, то говорят о блуждающей трубки методе.

При m<n выполнение элементарной операции связано с нек-рыми трудностями. В этом случае вместо Л. в. м. может применяться близкий к нему бегущей волны метод.

Л. в. м. непосредственно обобщается на вариационные задачи с неаддитивными функционалами, в к-рых ограничения носят характер изопсриметрич. условий (см. [3]). Л. в. м. может быть распространен на вариационные задачи, в к-рых неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных и соответствующие функционалы задаются в виде интегралов по областям различной размерности (см. [2]).

Лит.:[1] Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971; [2] Крылов И. А., Ч е р н о у с ь к о Ф. Л., "Ж. вычислит. матем. и матем. физ.", 1966, т. 6, № 2, с. 203-17; [3] В а н и ч у к Н. В., II е т р о в В. М., Черноусько Ф. Л., там же, 1969, т. 9, № 3, с. 548-57.

И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985