Математическая энциклопедия - локальные предельные теоремы

теории вероятностей предельные теоремы для плотностей, т. е. теоремы, устанавливающие сходимость плотностей последовательности распределений к плотности предельного распределения (если указанные плотности существуют), или классический вариант Л. п. т. локальные теоремы для решетчатых распределений, простейшей из к-рых является локальная Лапласа теорема.

Пусть X1, X2,... последовательность независимых случайных величин, имеющих общую функцию распределения F(х).с математич. ожиданием аи конечной положительной дисперсией Пусть Fn (х).функция распределения нормированной суммы

и Ф(х) - нормальная (0,1) функция распределения. Сделанные предположения обеспечивают выполнение соотношения при для любого х. Можно показать, что это соотношение не влечет за собой сходимость плотности распределения р п (х).случайной величины Zn к нормальной плотности

даже если распределение Fимеет плотность. Если же Zn имеет при нек-ром n=n0 ограниченную плотность распределения р п (х), то

равномерно относительно х. Условие ограниченности плотности для нек-рого n0 необходимо для того, чтобы (*) имело место равномерно относительно х.

Пусть X1, Х 2,... последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое невырожденное распределение, и Х 1 с вероятностью 1 принимает значения вида

где h>0 и b - постоянные (т. е. Х 1 имеет решетчатое распределение с шагом h).

Пусть X1 имеет конечную дисперсию и

Для того чтобы

при необходимо и достаточно, чтобы шаг hбыл максимальным. Эта теорема Гнеденко представляет собой обобщение локальной теоремы Лапласа.

Л. п. т. для сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин могут служить основным математич. аппаратом классической статистич. механики и квантовой статистики (см. [7], [8]).

Л. п. т. глубоко изучены для сумм независимых случайных величин и векторов вместе с оценками скорости сходимости в этих теоремах. Наиболее полно исследован случай предельного нормального распределения (см. [3], гл. 7); ряд работ посвящен Л. п. т. для случая произвольного устойчивого распределения (см. [2]). Аналогичные исследования проведены также для сумм зависимых случайных величин, в частности для сумм случайных величин, образующих цепь Маркова (см. [5], [6]).

Лит.:[1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.Л., 1949; [2] Ибрагимов И. А., Л и н н и к Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; [31 П е т р о в В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [4] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [5] С и р а ж д и н о в С. X., Предельные теоремы для однородных цепей Маркова, Ташкент, 1955; [6] С т а т у л я в и ч у с В. А., "Литовский матем. сб.", 1961, т. 1, в. 1-2, с. 231 314; 1969, т. 9, в. 2, с. 345-62; [7] Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики, М.Л., 1943; [8] Хинчин А. Я., Математические основания квантовой статистики, М.Л., 1951. В. В. Петров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985