Математическая энциклопедия - локально конечная полугруппа

полугруппа, в к-рой каждая конечно порожденная подполугруппа конечна. Всякая Л. к. п. будет периодической полугруппой. Обратное неверно: существуют даже периодич. группы, не являющиеся локально конечными (см. Бёрнсайда проблема). Задолго до решения проблемы Бёрнсайда для групп были построены примеры периодических, но не локально конечных полугрупп в классах полугрупп, далеких от групп, прежде всего в классе нилъполугрупп;таковы, напр., свободная полугруппа с двумя образующими в многообразии, заданном тождеством x³=0, и свободная полугруппа с тремя образующими в многообразии, заданном тождеством х ²=0. Вместе с тем для ряда классов полугрупп условия периодичности и локальной конечности равносильны. Тривиальный пример доставляют коммутативные полугруппы. Связка Л. к. п. (см. Связка полугрупп).сама будет Л. к. п. [1], более того, полугруппа, обладающая разбиением на локально конечные группы, будет Л. к. п., в частности всякая идемпотентов полугруппа будет Л. к. н. [7]. Если n таково, что всякая группа с тождеством x ^п=1. локально конечна, то всякая полугруппа с тождеством х ^п+1=х локально конечна [6]. Полугруппа, обладающая разбиением на Л. к. п., может не быть Л. к. п. [3], но если такая конгруэнция на полугруппе S, что факторполугруппа есть Л. к. п. и каждый -класс, являющийся подполугруппой, есть Л. к. п., то и Sбудет Л. к. п. (см. [4], [5]); в частности, идеальное расширение Л. к. п. при помощи Л. к. п. само будет Л. к. п. Если Sпериодич. полугруппа матриц над телом и все подгруппы из Sлокально конечны, то Sлокально конечна [8], откуда вытекает, что всякая периодич. полугруппа матриц над произвольным полем будет Л. к. п.

Лит.:[1] Ш е в р и н Л. Н., "Докл. АН СССР", 1965, т. 162, № 4, с. 770-73; [2] Ш н е п е р м а н Л. Б., "Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем. наук", 1976, № 4, с. 22-28; [3] Б р а у н Т. К., "Укр. матем. ж.", 1968, т. 20, № 6, с. 732-38; [4] Brown Т. С., "Pacif. J. Math.", 1967, v. 22, № 1, p. 11 14; [5] его же, там же, 1971, v. 36, № 2, р. 285-89; [6] Green J. A., Rees D., "Proc. Cambridge Phil. Soc.", 1952, v. 48, pt 1, p. 35-40; [7] М с L e a n D., "Amer. Math. Monthly", 1954, v. 61, № 2, p. 110 13; [8] М с N a u g h t о n R., Z a l с s t e i n Y., "J. Algebra", 1975, v. 34, № 2, p. 292-99.

Л. Н. Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985