Математическая энциклопедия - локальные и резидуальные свойства

абстрактные (т. е. сохраняющиеся при изоморфизме) свойства аягебраич. систем или универсальных алгебр.. Если Р - нек-рое свойство алгебр, то говорят, что алгебра Алокально обладает свойством Р, если существует локальная система подалгебр алгебры А, каждая из к-рых обладает свойством Р. Локальной системой подалгебр алгебры Анал. система непустых подалгебр, направленная по включению, объединение всех подалгебр к-рой совпадает с А. Если каждая алгебра нек-рого класса, к-рая локально обладает свойством Р, в действительности сама обладает свойством Р, то Рназ. л о-кальным свойством алгебр этого класса. Напр., свойство быть абелевой группой локальное свойство в классе всех групп, а свойство быть конечной группой не локальное. Подробнее о локальности свойств см. Мальцева локальные теоремы.

Говорят, что алгебра Арези дуально обладает свойством Р, если существует такое разделяющее семейство конгруэнции на А, что каждая факторалгебра обладает свойством Р. Семейство наз. разделяющим семейством конгруэнции, если пересечение всех есть максимальная (т. е. самая дробная) конгруэнция данной алгебры. Алгебра Арезидуально обладает свойством Ртогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде подпрямого произведения однотипных с ней алгебр, обладающих свойством Р. Свойство Рназ. резидуальным в нек-ром классе алгебр, если всякая алгебра этого класса, резидуально обладающая свойством Р, в действительности сама обладает свойством Р. В классе всех групп свойство быть абелевой группой резидуально, а конечность не резидуальна. Всякое резидуальное свойство алгебр, сохраняющееся при переходе к гомоморфным образам, локально.

Лит.:[1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968. О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985