Математическая энциклопедия - локально свободный пучок

пучок модулей, локально изоморфный прямой сумме нескольких экземпляров структурного пучка. Точнее, пусть окольцованное пространство. Пучок модулей над наз. локально свободным, если для каждой точки существует такая открытая окрестность что ограничение пучка на Uявляется свободным пучком модулей над т. е. изоморфно прямой сумме нек-рого множества I(х).экземпляров структурного пучка Если Xсвязно и множество I(х).конечно, напр. состоит из пэлементов, то nне зависит от точки хи наз. рангом Л. с. п. Пусть V - векторное расслоение ранга пна Xи пучок ростков его сечений, тогда Л. с. п. ранга п. Обратно, для каждого Л. с. п. ранга n существует векторное расслоение Vранга пна Xтакое, что является пучком ростков его сечений (см. [1], [2]); тем самым существует естественное взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных Л. с. п. ранга пи классами изоморфных векторных расслоений ранга пна X.

Пример: пусть X - гладкое связное алгебраич. многообразие размерности п, тогда пучок регулярных дифференциальных форм является Л. с. п. ранга п.

Пусть X = Spec A - связная аффинная схема спектр коммутативного кольца Л. с. п. ранга n, A-модуль его глобальных сечений. Тогда А-модуль Мпроективен и отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством классов (с точностью до изоморфизма) Л. с. п. ранга пи множеством классов (с точностью до изоморфизма) проективных A-модулей ранга п(см. [2]).

Лит.:[1] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [2] Н а r t s h о r n е R., Algebraic geometry, N. Y.Hdlb.В., 1977. В. А. Псковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985