Математическая энциклопедия - пространство отображении

топологическое множество Fотображений множества Xвтопологич. пространство Yс какой-нибудь естественной топологией Тна F. При фиксированных множестве Xи пространстве Y получаются различные П. о. в зависимости от того, какие отображения включаются в Fи какая естественная топология берется на F. Выбор F связан с наличием на Xи Y дополнительных структур и спецификой рассматриваемой ситуации. Так, в качестве Fмогут фигурировать: множество всех непрерывных отображений множества Xв пространство Y, множество всех отображений множества Xв пространство Y, множество всех непрерывных линейных отображений топологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y, множество всех непрерывных гомоморфизмов топологич. группы Xв топологич. группу Y, множество всех гладких отображений отрезка в прямую и т. д.

Важность рассмотрения П. о. в определенной море вызвана тем, что отображения представляют собой наиболее общий способ сравнения математич. объектов.

Естественные топологии (на множестве F) обычно определяются по следующей схеме. В Fфиксируется семейство S подмножеств, и предбаза топологии Тна Fсоставляется из множеств вида

где а V - любое открытое множество в F. Если S семейство всех конечных (или одноточечных) подмножеств множества X, то Тназ. топологией поточечной сходимости на X. Если Sсостоит из всех компактных подмножеств топологич. пространства X, то Тназ. компактно открытой топологией. Если , то Тназ. топологией равномерной сходимости (на X). Впрочем, всякую топологию Тна F, получаемую по этой схеме, наз. топологией равномерной сходимости на элементах семейства S.

В зависимости от области математики те или иные П. о. оказываются особенно важными. К числу центральных объектов функционального анализа относятся банаховы пространства непрерывных функций на компактах в топологии нормы, т. е. топологии равномерной сходимости, и в слабой топологии, к-рая описывается в терминах поточечной сходимости. В теории гомотопий важную роль играет пространство путей в топологич. пространстве, т. е. пространство непрерывных отображений действительного отрезка в это пространство. Гомотопий одного отображения в другое представляются путем в пространстве отображений. П. о. сфер в сферы возникает при определении гомотопических и когомотопических групп.

Особенно естественной на множестве всех отображений одного K-пространства в другое оказывается компактно открытая топология. Преимуществом топологии равномерной сходимости (на всем пространстве) является ее метризуемость. Эта топология сильнейшая в большом классе естественных топологий на П. о. Но обладает важными преимуществами и топология поточечной сходимости слабейшая в том же круге топологий. Во-первых, эта топология обладает наибольшим запасом компактов, как слабейшая, а компактность является одним из наиболее полезных свойств множества функций. Во-вторых, имеет место фундаментальный результат Дз. Нагаты (J. Nagata), к-рым изучение любых тихоновских пространств ставится в прямую связь с исследованием топологич. колец. А именно, тихоновские пространства Xи У гомеоморфны в том и только в том случае, если топологически изоморфны топологич. кольца С р (Х).и С p(Y).непрерывных функций на Xи Y, взятые в топологии поточечной сходимости.

Рассмотрение топологич. свойств П. о. полезно при доказательстве теорем о существовании отображений с тем или иным свойством. Полнота метрич. пространства непрерывных действительных функций на компакте через принцип сжатых отображений применяется для доказательства фундаментальной теоремы о существовании решения дифференциального уравнения в известных предположениях. Следствием полноты метрич. пространства функций является Бэра свойство. На этой основе доказывается, напр., существование непрерывной нигде не дифференцируемой функции на отрезке. Свойство Бэра П. о. играет центральную роль при доказательстве теорем общего положения, при доказательстве известной теоремы о вложимости каждого n-мерного компакта со счетной базой в (2n+1 )-мерное евклидово пространство, и т. п.

Влияние пространств действительных функций на общую топологию проявилось в следующей задаче общего характера: как связаны свойства пространств Xи Y, если пространства непрерывных действительных функций над ними (в топологии поточечной сходимости, в компактно открытой топологии) гомеоморфны (линейно гомеоморфны). Известно, напр., что линейные гомеоморфизмы сохраняют компактность и размерность.

Существенное значение имеет наследование двойственности между свойствами топологич. пространства и топологич. свойствами пространства функций над ним в топологии поточечной сходимости. Примером полезного результата в этой области может служить теорема: любая конечная степень пространства линделёфова в том и только в том случае, если пространство функций над ним имеет счетную тесноту. Этот результат применяется, в частности, при исследовании строения компактов Эберлейна компактов, лежащих в банаховых пространствах, наделенных слабой топологией.

Лит.:[1] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1981. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985