Математическая энциклопедия - простой элемент

обобщение понятия простого числа. Пусть G - область целостности или коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения. Ненулевой элемент , не являющийся делителем единицы, наз. простым, если произведение аb может делиться на рлишь в том случае, когда хотя бы один из элементов а или bделится на р. Всякий П. э. является неприводимым, т. е. делится только на делители единицы и ассоциированные с ним элементы. Неприводимый элемент не обязан быть простым, однако в гауссовой полугруппе эти два понятия совпадают. Более того, если всякий неприводимый элемент из Gявляется простым, то полугруппа G гауссова. Аналогичные утверждения имеют место для факториальных колец. Элемент кольца является простым тогда и только тогда, когда главный идеал, порожденный этим элементом,простой идеал.

Существуют обобщения этих понятий на некоммутативный случай (см. [2]).

Лит.:[1] Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 19В8.

О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985