Математическая энциклопедия - пространственные формы

связные полные римановы пространства постоянной кривизны. Проблема классификации n-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована В. Киллингом (W. Killing, 1891), к-рый назвал ее проблем ой пространственных форм Клиффорда Клейна; современная формулировка этой проблемы дана Х. Хопфом (Н. Hopf, 1925).

Примеры П. ф.: евклидово пространство Е ^п размерности песть П. ф. нулевой кривизны (так называемое плоское пространство); сфера Sⁿ в Е ^п+1 радиуса r>0 есть П. ф. положительной кривизны 1/r²; пространство Лобачевского (гиперболич. пространство) А" есть П. ф. отрицательной кривизны; плоский тор Т"=Е ^п/ Г , где Гя-мерная решетка в Е ⁿ, есть П. ф. нулевой кривизны (плоское пространство).

Любая П. ф. М ⁿ кривизны s. может быть получена из односвязной П. ф. той же кривизны факторизацией по дискретной группе Г движений пространства , действующих свободно (т. е. без неподвижных точек); при этом два пространства и М' ^п изометричны в том и только в том случае, когда Г и Г' сопряжены в группе всех движений М ^п. Тем самым проблема классификации П. ф. сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств Sⁿ, Е ^п в Lⁿ, действующих свободно. Пространство М ^п наз. сферической пространственной формой (с. п. ф.), если М ⁿ=Sⁿ/ Г , евклидовой пространственной формой (е. п. ф.), если М ⁿ=