Математическая энциклопедия - тор

тело, полученное от вращения замкнутого круга вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга и его не пересекающей. Центр круга описывает окружность, наз. осевой окружностью Т., ее центр наз. центром Т. Плоскость осевой окружности Т. наз. экваториальной плоскостью Т., а лежащие на Т. границы кругов, получающихся из данного круга его вращением,меридианами Т.

Поверхность Т., радиус-вектор к-рой в декартовых координатах евклидова пространства Е ³ имеет вид

(здесь ( и, v)внутренние координаты, а - радиус вращающейся окружности, l - радиус осевой окружности, эксцентриситет), часто также наз. тором. Ее линейный элемент

а кривизна Т.частный случай вращения поверхности и каналовой поверхности.

Стопологич. точки зрения Т.произведение двух окружностей и потому Т.двумерное замкнутое многообразие рода нуль. Если это произведение метрическое, то его можно реализовать в Е ⁴ или в эллиптич. пространстве Э ³ в виде поверхности Клиффорда; ее уравнением в Е ⁴, напр., будет

Естественное обобщение Т.многомерный тор топологическое произведение нескольких экземпляров окружности S, т. е. многообразия всех комплексных чисел, равных по модулю единице. Естественная гладкость на Sопределяет на Т. структуру гладкого многообразия, а естественная мультипликативная структура на Sиндуцирует на Т. структуру связной компактной коммутативной вещественной группы Ли. Последние группы играют важную роль в теории групп Ли, и их также называют торами (см. Ли компактная группа, Максимальный тор, Картана подгруппа). Четномерный Т. допускает комплексную структуру; при выполнении нек-рых условий такая структура превращает Т. в абелево многообразие (см. также Комплексный тор). В структурной теории алгебраич. групп у Т., как у вещественной группы Ли, имеется важный аналог алгебраический тор (см. также Алгебраическая группа, Линейная алгебраическая группа). Алгебраич. тор сам не является Т. (в случае основного поля комплексных чисел), но обладает подгруппой, к-рая является Т. и на к-рую он стягивается (как топологич. пространство). Точнее, алгебраич. тор, как группа Ли, изоморфен произведению нек-рого Т. и нескольких экземпляров мультипликативной группы положительных действительных чисел.

М. И. Войцеховский, В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985