Математическая энциклопедия - пространство с индефинитной метрикой

G-пространство,пара объектов (E, G), из к-рых первый есть векторное пространство Енад полем комплексных чисел, а второй есть билинейная (точнее, полуторалинейная) форма Gнад Е;эта форма наз. также G - метрикой. Если Gположительно определенная (т. н. дефинитная) форма, то Gесть скалярное произведение в E, и с помощью G можно канонич. способом (см., напр., Гильбертово пространство с индефинитной метрикой).ввести норму и расстояние (т. е. обычную метрику) для элементов из Е. В случае общей полуторалинейной формы нет норм или метрик, канонически связанных с G, и термин "G-метрика" лишь напоминает о тесной связи дефинитных полуторалинейных форм с нек-рыми метриками в векторных пространствах.

Теория конечномерных пространств с индефинитной метрикой, наз. чаще билинейно метрич. пространствами или пространствами с билинейной метрикой, разработана еще Г. Фробениусом и излагается в курсах линейной алгебры (см. [1]).

Основной целью общей теории П. с и. м. является выделение и исследование сравнительно простых, но важных для приложений классов несамосопряженных операторов в гильбертовом пространство. П. с и, м. впервые введены Л. С. Понтрягиным [2] (подробнее см. Понтрягина пространство).

Теория П. с и. м. развивается по Двум направлениям геометрия этих пространств и линейные операторы в них.

Геометрия общих П. с и. м. в основном исследует:

а) связь G-метрики с различными топологиями на Е;

б) классификацию векторных подпространств (линеалов) в Е относительно G-метрики (особенно т. н. дефинитных подпространств; см. ниже); в) свойства G-пpoектирования; г) базисы G-пространств.

В случае эрмитовой G-метрики (G ^э -метрики), т. е. такой, что для всех , важнейшими понятиями и результатами геометрии П. с п. м. являются следующие. Пусть каждому вектору поставлен в соответствие линейный функционал . Топология t на Еназ. подчиняющей G метрику, если функционал G у непрерывен в t для всех ; топология t наз. согласующейся с G-метрикой, если она подчиняет G и каждый t-непрерывный функционал имеет вид . В пространстве Е с индефинитной метрикой можно задать не более одной топологии Фреше, подчиняющей G, и, однако, не каждая G-метрика допускает такую топологию (см. [4]). Если подчиняющая G-метрику топология является предгильбертовой топологией на Еи задается в Ескалярным произведением , то форма H наз. эрмитово неотрицательной мажорантой формы G; в этом случае

После пополнения по H-норме получается гильбертово пространство с индефинитной метрикой , где продолжение G по непрерывности на все пространство . При этом метрика может оказаться вырожденной, даже если G - невырожденная метрика. Этого вырождения не происходит, если метрика G невырождена и наибольшая из размерностей у. положительных подпространств в Еконечна. В последнем случае получается пространство Понтря-гина .

Подпространство Lв пространстве ( Е, G) с индефинитной метрикой наз. положительным подпространством, отрицательным подпространством (общее название дефинитным подпространством) или нейтральным подпространством, в зависимости от того, будет ли G(x,z)>0, G(x, x)<0 или G(x, x)=0 для любого ; подпространство максимально положительно, если оно положительно и не может быть расширено с сохранением этого свойства. Всякое подпространство одного из названных типов содержится в максимальном подпространстве того же типа.

Важную роль в классификации подпространств в пространствах с индефинитной метрикой играют понятия канонического разложения и G-ортогонального проектирования.

Вектор наз. G-oртогональным к подпространству ( изотропным подпространством относительно L), если G(x, у)=0 для любого . Подпространство Lназ. вырожденным, если оно содержит хотя бы один ненулевой вектор, изотропный относительно L.