Математическая энциклопедия - пространство с мерой

(X, А, m) измеримое пространство(X, А).с заданной на А мерой и (т. е. счетно аддитивной функцией со значениями в [0, ], для к-рой m()=0; последнее свойство следует из аддитивности, если мера конечна, т. е. не принимает значения , и даже если имеется хоть одно с mY<). Запись (X, А,m) часто сокращают до (X,m) и говорят, что m есть мера на X;иногда эту запись сокращают даже до X. Основной случай когда Аявляется s-алгеброй и Xможно представить в виде с и ; меру в этом случае наз. (вполне) а-конечной (а если , то (вполне) конечной). Такова, напр., мера Лебега на (см. Лебега пространство). Однако иногда встречаются и не о-конечньте меры, как, напр., k- мерная Хаусдорфа мера на при k<n. Встречаются также модификации, когда и принимает значения в (,], комплексные, или векторные значения, а также когда m. всего лишь конечно аддитивна.

Лит.:[1] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [2] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, ч. 1 Общая теория, пер. с англ., М., 1962.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985