Математическая энциклопедия - простая конечная группа

конечная группа, в к-рой нет нормальных подгрупп, отличных от всей группы и от единичной подгруппы. П. к. г.наименьшие "строительные блоки", из к-рых с помощью расширений может быть "собрана" любая конечная группа. Каждый фактор композиционного ряда конечной группы является П. к. г., а минимальная нормальная подгруппа прямое произведение П. к. г. Простейшими примерами П. к. г. служат циклич. группы простых порядков. Только таким П. к. г. изоморфны факторы композиционных рядов разрешимых групп. Все остальные П. к. г. неразрешимы и их порядки четны [см. Бёрнсайда проблема -1)]. Бесконечные серии примеров неразрешимых П. к. г. дают знакопеременные группы , проективные специальные линейные группы PSL(n, q).над конечным полем порядка q, проективные симплектич. группы PSP(2n, q), проективные ортогональные группы PW( п, q).и проективные унитарные группы PSU(n, q²).

Все перечисленные П. к. г. были известны еще в прошлом веке. Кроме них, в кон. 19 в. были открыты еще 5 групп (см. Матьё группа). В нач. 20 в. построены конечные аналоги простых групп Ли типа G2 (см. Диксона группа). Открытия новых бесконечных серий П. к. г., сделанные в 50-х гг., позволили получить большинство типов известных простых групп из групп автоморфизмов простых алгебр Ли (см. Шевалле группа). Известные бесконечные серии П. к. г. представлены в таблице.

Здесь q - ненулевая степень простого числа, l - натуральное число, (s, t) - наибольший общий делитель чисел s и t. Кроме перечисленных в таблице, известны еще 26 П. к. г., не входящих ни в одну бесконечную серию П. к. г. (т. н. спорадические простые группы). Главной задачей теории П. к. г. является проблема классификации П. к. г., содержанием к-рой служит доказательство того, что каждая П. к. г. изоморфна одной из известных простых групп. Другая задача состоит в изучении свойств известных простых групп: изучении их матричных представлений (см. Конечной группы представление), описании примитивных подстановочных представлений (см. Подстановок группа).или, более общо, представлений в виде групп автоморфизмов различных математич. объектов (графов, конечных геометрий), описании подгрупп, в частности максимальных подгрупп, и т. д.

Лит.:[1] Картер Р., "Математика", 1906, т. 10, № 5, с. 3-47; [2] Ашбахер М., "Успехи матем. наук", 1981, т. 36, № 2, с. 141-72; [3] Нuрреrt В., Endliche Gruppen, [Bd] 1, В., 19ti7; [4] Blackburn N., Нuрреrt В., Finite groups II, III, В., 1981. В. Д. Мазуров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985