Математическая энциклопедия - база

топологического пространства (база топологии, базис топо-логпи, открытая база) семейство открытых подмножеств такое, что каждое открытое множество является объединением элементов Понятие В.одно пз основных в топологии: во многих вопросах, относящихся к открытым множествам нек-ро-го пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его Б. Пространство может иметь много В., наибольшую из к-рых образует семейство всех открытых множеств. Минимум мощностей всех Б. наз. весом топологич. пространства X. В пространстве веса существует всюду плотное множество мощности . Пространства со счетной Б. наз. также пространствами со второй аксиомой счетности. Двойственное понятие замкнутой Б., образованной дополнениями к элементам Б., мало употребительно.

Локальной Б. пространства в точке {базой точки ) наз. семейство его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности точки найдется элемент такой, что Пространства, имеющие счетную локальную Б. в каждой точке, наз. также пространствами с первой аксиомой счетностп. Семейство открытых в множеств является Б. тогда н только тогда, когда оно является локальной Б. каждой его точки .

Пусть нек-рые кардинальные числа. Б. пространства наз. -точечной, если каждая точка принадлежит не более чем элементам семейства ; в частности, при Б. наз. дизъюнктной, при конечном mточечно конечной, при точечно счетной.

Б. пространства наз. -локальной, если для каждой точки существует ее окрестность , пересекающаяся с не более чем элементами семейства ; в частности, при Б. наз. дискретной, при конечном тлокально конечной, при локально счетной. Б. наз. -точечной ( -локальной), если она является объединением множества мощности точечных (m-локальных) В.; таковы, напр., при -дизъюнктные, -точечно конечные, -дискретные, -локально конечные Б.

Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной Б. или с первой аксиомой счетностн и точечно счетной Б. метризуемо; регулярное пространство с s-днскретной или с s-локально конечной Б. мет-ризуемо (обратное верно, однако, лишь для первого утверждения).