Математическая энциклопедия - метеорологии математические задачи

задачи в области физики, химии и биологии атмосферы, решаемые с помощью математич. методов. Большинство М. м. з. метеорологии характеризуются сложностью и большим объемом перерабатываемой информации, поэтому для решения этих задач наряду с аналитич. методами широко используются методы численного моделирования на ЭВМ.

Математич. задачи физики атмосферы преимущественно задачи гидротермодинамики стратифицированной жидкости с характерными особенностями, создаваемыми вращением Земли и неоднородностями рельефа и температуры поверхности Земли. Теоретич. основой математич. моделей являются законы сохранения массы, импульса и энергии, к-рые вместе с законами термодинамики и химии описывают процессы, протекающие в атмосфере, и взаимодействие атмосферы с океаном и поверхностью Земли. В математич. выражении это системы многомерных нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, к-рые решаются в предположении, что внешним источником энергии является Солнце. Кроме функций, описывающих состояние и режим атмосферы (температура, давление, плотность, скорость ветра и др.), эти уравнения содержат ряд параметров. Под параметрами обычно понимаются коэффициенты уравнений, в нестационарных задачах начальные значения функций, описывающих состояние атмосферы, характеристики поверхности Земли, внешние источники и др. Начальные условия определяются по результатам измерений в реальной физич. системе "атмосфера Земля". Процесс математич. моделирования состоит из нескольких этапов: качественный анализ математич. модели (корректность постановки задачи, разрешимость ее в физически разумных классах функций и др.), построение дискретных ее аналогов, разработка вычислительных алгоритмов и программ для реализации дискретных моделей на ЭВМ, исследование чувствительности модели к вариациям параметров, оценка параметров по априорной информации и данным измерений и др. Структура математич. моделей зависит от пространственно-временных масштабов исследуемых процессов в атмосфере и способов их описания.

Численное моделирование является одним из основных средств для решения задач прогноза погоды и теории климата. Особенно большое значение приобретает проблема численного моделирования при изучении вариаций климата под влиянием естественных и антропогенных факторов и при оценке влияния деятельности человека на окружающую среду. Выбор и обоснование физич. моделей для данного класса задач тесно связаны с исследованием фундаментальных вопросов устойчивости, предсказуемости и чувствительности физич. системы, состоящей из атмосферы, океана, снежного покрова, континентов и биосферы, к-рую обычно наз. климатич. системой. Предсказуемость определяет возможности научно-детерминированного подхода к предсказанию физич. процессов и тем самым определяет возможности построения математич. моделей для описания и предсказания поведения климатич. системы или ее частей. Чувствительность характеризует степень устойчивости этой системы по отношению к вариациям внешних воздействий и внутренних параметров. Если воздействия антропогенных факторов интерпретировать как возмущения, вносимые в систему, то оценку их влияния можно рассматривать как один из прикладных аспектов теории чувствительности.

Задачей краткосрочного прогноза погоды (от нескольких часов до нескольких суток) является задача нахождения нестационарного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений гидротермодинамики атмосферы с заданными краевыми и начальными условиями. В задачах долгосрочного прогноза погоды определяются нек-рые обобщенные или осредненные характеристики поведения атмосферы. Численный эксперимент по общей циркуляции атмосферы состоит в интегрировании соответствующих уравнений на длительный срок при идеализированных начальных данных. Нахождение стационарного решения или решения с годовым периодом есть численный эксперимент по климатич. фону.

Атмосферные процессы имеют волновую структуру. Построение отдельных типов атмосферных волн осуществляется методами нелинейной механики с использованием асимптотич. разложений в ряды по степеням малого параметра. Математич. теория атмосферных волн для линеаризованных моделей хорошо разработана. Среди решений уравнений гидродинамики выделено несколько классов волн (акустические, гравитационные, волны Росби). Среди нелинейных волн изучены лишь отдельные примеры (гравитационные волны Гер-стнера, нелинейные волны Росби и др.). Для выяснения структуры атмосферных движений широко используются численные методы решения задач на собственные значения и собственные функции для операторов гидротермодинамики и их дискретных аналогов. Математич. задачей атмосферной акустики является изучение распространения волн в слоистых средах. При этом используются аналитические (метод ВКБ и др.) и численные методы. Важную роль, особенно в связи с изучением и моделированием динамики циклонов и фронтов в атмосфере, имеют исследования гидро-динамич. неустойчивости атмосферных волн и взаимодействие волн различных масштабов.

В области атмосферной оптики возникают специфические обратные задачи из класса условно-корректных задач. Типичным примером может быть задача восстановления параметров атмосферы по данным дистанционного зондирования со спутников. Процессы многократного рассеяния света в атмосфере исследуются различными асимптотическими и численными методами. Для решения уравнения переноса излучения в атмосфере используются численные методы. Особенно эффективным является метод Монте-Карло.