Математическая энциклопедия - метрический тензор

основной тензор, фундаментальный тензор,поле дважды ковариантного симметрич. тензора на n-мерном дифференцируемом многообразии . Задание на М. т. вводит в касательном к в точке векторном пространстве скалярное произведение контравариантных векторов определяемое как билинейная функция где значение поля gв точке р. В координатной записи:

Метрика пространства с введенным в нем скалярным произведением принимается в бесконечно малом за метрику многообразия , что выражается в выборе дифференциальной квадратичной формы

квадратом дифференциала длины дуги кривой , исходящей из рв направлении По ее геометрич. смыслу форму (*) наз. метрической, или первой основной, формой на ,

соответствующей М. т. g. Обратно, если на задана симметрическая квадратичная форма вида (*), то ей сопоставляется поле дважды ковариантного тензора соответствующая метрич. форма к-рого совпадает с g. Таким образом, задание на М. т. g равносильно заданию на метрики с квадратом линейного элемента вида (*). М. т. полностью определяет внутреннюю геометрию Совокупность М. т. gи . определяемых ими метрик подразделяется на два класса вырожденные метрики, когда и невырожденные, когда . Многообразие с вырожденной метрикой (*) наз. изотропным. Среди невырожденных М. т., в свою очередь, различаются риманов М. т., для к-рого квадратичная форма (*) является положительно определенной, и псевдориманов М. т., когда форма (*) является знакопеременной. Риманова (псев-дориманова) метрика, вводимая на через риманов (псевдориманов) М. т., определяет на риманову (соответственно псевдориманову) геометрию.

Обычно под М. т. без специального на то указания понимается риманов М. т.; но если, рассматривая невырожденный М. т., хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом М. т., то об этом М. т. говорят как о собственно римановом М. т. Собственно риманов М. т. может быть введен на любом паракомпактном дифференцируемом многообразии.

Лит.:[1] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

И. X. Сабитов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985