Математическая энциклопедия - метрическая теория чисел

раздел теории чисел, в к-ром изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры )характеризуются множества чисел, обладающих определенными арифметич. свойствами. М. т. ч. тесно связана с теорией вероятностей, что иногда дает возможность использовать ее методы и результаты для анализа теоретико-числовых моделей.

Многие задачи, касающиеся арифметич. свойств отдельных чисел, допускают также метрич. постановку; напр., наряду с вопросом о том, будет ли равномерно распределена последовательность дробных долей , при или , можно ставить вопрос о том, какова мера Лебега тех из интервала (0,1), для к-рых эта последовательность равномерно распределена. Такое метрич. обобщение задачи часто оказывается весьма полезным и дает возможность представить явление в целом. Иногда на основе метрич. рассуждений без особого труда удается доказать существование чисел с определенными арифметич. свойствами, тогда как прямое построение таких чисел бывает сложным (нормальные числа Бореля, числа с определенными свойствами аппроксимации и т. п.).

Наиболее значительные достижения М. т. ч. относятся к диофантовых приближений метрической теории, к теории равномерного распределения числовых последовательностей, к теории цепных дробей и др. областям теории чисел.

Одной из первых теорем М. т. ч. является теорема Бореля (Е. Borel, 1909): почти все (в смысле меры Лебега) действительные числа а. интервала (0, 1) нормальны в системе счисления с любым целым основанием g. В другой равносильной формулировке эта теорема утверждает, что дробные доли равномерно распределены на интервале (0, 1). Теорема Бореля обобщалась и углублялась многими математиками. Плодотворной оказалась точка зрения, основанная на том, что "цифры" 0, 1, . . ., g-1, встречающиеся в разложении aв системе счисления с основанием g(g-ичной системе), являются независимыми случайными величинами. Явно или неявно основываясь на этом обстоятельстве и применяя методы, разработанные в теории вероятностей для отыскания асимптотич. законов распределения сумм независимых и слабо зависимых случайных величин, были решены основные вопросы, касающиеся распределения "цифр" 0,1, . . ., g-1, и произвольных групп "цифр" в g-ичном разложении чисел , "случайно" выбираемых в интервале (0,1). Напр., полагая

где а iчисла ряда 0, 1, . . ., g-1, находят, что а i = а i(a) можно рассматривать как независимые случайные величины, определенные на интервале (0, 1) с мерой Лебега на этом интервале в качестве вероятностной меры. Если алюбое число ряда 0,1, . . ., g-1, kn(a).число тех , для к-рых при данном а, то

распределяется асимптотически по нормальному закону, т. е. при любом действительном хмера множества тех а, для к-рых

при стремится к пределу

Г. Вейль (Н. Weyl, 1916) доказал, что если а n , n= 1, 2, . . ., произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел, то для почти всех a дробные доли {} равномерно распределены на интервале (0, 1). В предположении, что а п являются значениями нек-рой функции, определенной на бесконечном интервале (1,) и обладающей специальными аналитич. словиями, эта теорема допускает уточнения, касающиеся "качества" равномерного распределения. И. Коксма [8] доказал общую теорему о распределении дробных долей функции двух переменных f(a, п), где a действительное переменное, принимающее почти все значения из интервала (1, ), а n=1, 2, ... . Напр., дробные доли {a ⁿ}для почти всех a>1 равномерно распределены на интервале (0, 1).

Помимо вопросов, связанных с нормальными числами Бореля, одним из основных объектов М. т. ч. в начале ее развития была метрич. теория цепных дробей. Пусть a.действительное число из интервала (0, 1), a=[0, a1, . . .] его разложение в цепную дробь, знаменатель п-йподходящей дроби [0, а 1 , . . ., а п]. А.