Математическая энциклопедия - множество типа

, -множество ( -множество),объединение (пересечение) счетного числа замкнутых (открытых) множеств. См. Борелевское множество.

А-МНОЖЕСТВО, аналитическое множество, в полном сепарабельном метрическом пространстве непрерывный образ борелевского множества. Так как любое борелевское множество является непрерывным образом множества иррациональных чисел, то А-м. можно определить как непрерывный образ множества иррациональных чисел. Счетное пересечение и счетное объединение А-м. является А- м . Любое А-м. измеримо в смысле Лебега. Свойство быть А- м . инвариантно относительно измеримых по Борелю отображений, а также относительно А-операции. Более того, для того чтобы множество было А-м., необходимо и достаточно, чтобы оно представляло собой результат А-операции, примененной к нек-рой системе замкнутых множеств. Существуют примеры А-м., к-рые не являются борелевскими; так, в пространстве всех замкнутых подмножеств отрезка I действительных чисел множество замкнутых несчетных множеств является А-м., но не является борелевским. Любое несчетное А-м. топологически содержит канторов совершенное множество. Таким образом, А-м. "реализует" континуум-гипотезу: их мощность либо конечна, либо , либо . Для А-м. справедливы Лузина принципы отделимости.

Лит.:[1] Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1, М., 1966; [2] Лузин Н. Н., Лекции об аналитических множествах и их приложениях, М., 1953.

Б. А. Ефимив.

СА -МНОЖЕСТВО -дополнение к А-множеству, лежащему в полном сепарабельном метрич. пространстве X, т. е. есть СА-м., если является А-множеством или, другими словами, АС-м. есть проективное множество класса 2. Существует пример СА-м., не являющегося A-множеством. Любое A-множество является взаимно однозначным и непрерывным образом нек-рого СА-м. (теорема Мазуркевича).

Точка уназ. значением порядка 1 отображения f, если существует одна и только одна точка такая, что y=f(x). Значения порядка 1 В-измеримого отображения f произвольного борелевского множества образуют СА- м . (теорема Лузина). Имеет место и обратная теорема: пусть Снек-рое СА- м ., принадлежащее пространству X;тогда существует непрерывная функция f, определенная на замкнутом подмножестве пространства иррациональных чисел, такая, что Сесть множество точек порядка 1 функции f. Теорема Куратовского о редукции: пусть дана бесконечная последовательность СА- м . тогда существует такая последовательность непересекающихся СА- м .что

и

Лит.:[1] Куратовский К., Топология, пер. с англ., т. 1, М., 1966.

Б. А. Ефимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985