Математическая энциклопедия - многогранника группа

группа Sym Рсимметрии многогранника Рв n-мерном евклидовом пространстве E ⁿ , т. е. группа всех движений пространства Е ⁿ, переводящих Рв себя. Многогранник Рназ. правильным, если группа Sym Pтранзитивно действует на множестве его "флагов" наборов

где есть k-мерная замкнутая грань и

Группа симметрии правильного многогранника порождается отражениями (см. Отражений группа). Ее фундаментальной областью является симшшциальный конус К, вершина к-рого совпадает с центром многогранника Р, а ребра проходят через центры граней, составляющих какой-либо флаг F. Тем самым образующие отражения r1,..., r п группы Sym Pполучают естественную нумерацию: rk есть отражение относительно той гиперплоскости, ограничивающей K, к-рая не проходит через центр грани Г k-1. Образующие и при коммутируют, а порядок равен числу k-мерных (или (к-1)-мерных) граней многогранника Tk + 1 , содержащих грань (если считать, что ). Последовательность наз. символом Шлефли многогранника. Трехмерные правильные многогранники (тела Платона) имеют следующие символы Шлефли: тетраэдр {3,3}, куб {4,3}, октаэдр {3,4}, додекаэдр {5,3}, икосаэдр {3,5}.

Символ Шлефли определяет правильный многогранник с точностью до подобия. Обращению символа Шлефли соответствует переход к взаимному многограннику, вершинами к-рого служат центры (п1)-мерных граней многогранника Р. Взаимные многогранники имеют одинаковые группы симметрии.

Все возможные символы Шлефли правильных многогранников можно получить из классификации конечных групп отражений, выделив из них те, граф Кокстера к-рых линеен. При в существует лишь 3 правильных многогранника: симплекс, куб и многогранник взаимный кубу (аналог октаэдра). Их символы Шлефли суть {3, ... , 3}, {4,3, ... , 3} и {3, ... , 3, 4}. В 4-мерном пространстве имеется 6 правильных многогранников; {3, 3, 3}, {4, 3, 3}, {3, 3, 4}, {3, 4, 3}, {5, 3, 3} и {3, 3, 5}.

Каждая грань правильного многогранника Ртакже является правильным многогранником, причем ее символ Шлефли есть начальный отрезок символа Шлефли самого многогранника Р. Напр., 3-мерная грань многогранника {5, 3, 3} имеет символ Шлефли {5, 3}, т. е. является додекаэдром.

Лит.:[1] Coxeter H. S. M., Regular Polytopes, 2 ed., N. Y.L., 1963; [2] Pозенфельд Б. А., 'Многомерные пространства, М., 1066.

Э. Б. Винберг.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985