Математическая энциклопедия - многогранник

совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что: 1) каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); 2) от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники наз. гранями, их стороны ребрами, а их вершины вершинами М.

Приведенное определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. Основная часть статьи построена на основе второго определения М., при к-ром его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность нек-рого геометрич. тела, к-рое также наз. М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрич. тела, причем допускается также существование у этих тел "дырок", ограниченных конечным числом плоских граней.

Простейшими примерами М. являются призмы и пирамиды. М. наз. n-угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n-угольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида наз. также тетраэдром. М. наз. n-угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n-уголь-ники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани параллелограммы, противоположными сторонами к-рых являются соответственные стороны оснований. Для всякого М. нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В- Р+Г=2 (теорема Эйлера). Для М. рода рсправедливо соотношение В-Р+Г=2-2р.

Выпуклым многогранником наз. выпуклая оболочка конечного числа точек, т. е. такой М., к-рый лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М.выпуклый. Наиболее важны следующие выпуклые М.

Правильные многогранники (тела Платона) такие выпуклые М., все грани к-рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (см. рис. 15).

Изогоны и изоэдрывыпуклые М., все многогранные углы к-рых равны (изогоны) или равны все грани (изоэдры); причем группа поворотов (с отражениями) изогона (изоэдра) вокруг центра тяжести переводит любую его вершину (грань) в любую другую его вершину (грань). Каждый из изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. наз. полуправильными многогранниками (телами Архимеда) (см. рис. 10-25).

Параллелоэдра (выпуклые) М., рассматриваемые пак тела, параллельным пересечением к-рых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовали разбиение пространства (см. рис. 26-30).

Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать еще четыре правильных невыпуклых М. (тела Пуансо). В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани самопересекающиеся многоугольники (см. рис. 6-9). Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объемами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, к-рые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его наз. ориентируемым, в противном случае неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объема. Площадью ориентируемого М. наз. сумму площадей его граней. При определении объема следует иметь в виду, что совокупность внутренних кусков граней М. разделяет пространство на определенное число связных кусков, из к-рых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму "коэффициентов" тех внутренних кусков граней М., к-рые пересечет этот отрезок, наз. коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точки); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объемов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, наз. объемом М.

Рассматриваются п n-мерные М. Некоторые из указанных определений имеют n-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные M., при n=4 их оказалось 6, а при всех больших n всего 3: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, напр., неизвестны (1982) все 4-мерные изоэдры и изогоны.

Лит.:[1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4 Геометрия, М., 1963; [2] Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М.Л., 1981; [3] Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.Л., 1950; [4] Люстерник Л. А., Выпуклые фигуры и многогранники, М., 1956; [5] Bruckner M., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900.

По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985