Математическая энциклопедия - многомерное распределение

распределение вероятностей на -алгебре борелевских множеств s-мерного евклидова пространства . О М. р. обычно говорят как о распределении многомерной случайной величины или случайного вектора , понимая под этим совместное распределение действительных случайных величин , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий (можно рассматривать как координатные величины в пространстве ). М. р. однозначно определяется функцией распределения функцией

.действительных переменных

Так же, как и в одномерном случае, наиболее распространенными М. р. являются дискретные и абсолютно непрерывные распределения. В дискретном случае М. р. сосредоточено на конечном или счетном множестве точек пространства , так что

(см., напр., Полиномиальное распределение). В абсолютно непрерывном случае почти всюду (по мере Лебега) в

где плотность М. р.:

для любого Аиз s-алгебры борелевских множеств пространства и

Распределение любой случайной величины (а также при любом распределение величин ) по отношению к М. р. наз. частным, или маргинальным распределением. Маргинальные распределения полностью определяются заданным М. р. В том случае, когда величины Х 1 , ... , Xs независимы, то

и

где и соответственно маргинальные функции распределения и плотности случайных величин

Математич. ожидание любой функции от определяется интегралом от этой функции по М. р., в частности в абсолютно непрерывном случае интегралом

Характеристич. функция М. р. есть функция вектора равная где Основными характеристиками М. р. служат моменты: смешанные моменты и центральные смешанные моменты, где порядок соответствующего момента. Роль математич. ожидания и дисперсии для М. р. выполняют вектор и совокупность центральных смешанных моментов 2-го порядка, образующих ковариационную матрицу. Если при всех то случайные величины наз. попарно некоррелированными (ковариационная матрица диагональна). Если ранг rковариационной матрицы меньше s, то М. р. наз. вырожденным распределением;в этом случае М. р. сосредоточено на нек-ром линейном многообразии в размерности r.

О методах исследования зависимости между см. статьи Корреляция, Регрессия. А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985