Математическая энциклопедия - многомерный узел

изотопический класс вложений сферы в сферу. Более точно, re-мерным узлом коразмерности q наз. пара , состоящая из ориентированной сферы и ее ориентированного локально плоского подмногообразия , гомеоморфного сфере . Два узла наз. эквивалентными, если существует изотопия сферы , переводящая на с сохранением ориентации. В зависимости от того, в какой категории (Diff, PL или Тор) понимаются термины "подмногообразие" и "изотопия" в предыдущих определениях, говорится о гладких, кусочно линейных пли топо-логич. М. у. соответственно. В гладком случае подмногообразие может иметь п нестандартную дифференцируемую структуру, n-мерный узел коразмерности q, изотопный стандартному вложению, наз. тривиальным, или незаузленным, узлом.

Изучение М. у. коразмерности 1 связано с Шёнфлиса гипотезой. Всякий топологич. узел коразмерности 1 тривиален. Это же верно и для кусочно линейных и гладких узлов, если

Кусочно линейные и тоиологич. М. у. коразмерности тривиальны. В гладком случае это не так. Множество изотопич. классов гладких га-мерных узлов коразмерности совпадает при с множеством классов кобордизмов узлов (два М. у. =наз. кобордантными, если существует гладкое -мерное подмногообразие , трансверсально выходящее на , причем и является h-кобордизмом между ). Множество является абелевой группой относительно связного суммирования. В этой группе противоположным к классу М. у. является класс кобордизмов узла , где минус означает обращение ориентации. Имеется естественный гомоморфизм , где группа n -мерных гомотопич. сфер; этот гомоморфизм сопоставляет узлу дифференцируемую структуру сферы . Ядро этого гомоморфизма, обозначаемое , совпадает с множеством изотопич. классов стандартной сферы в . Если то группа тривиальна. Если , то группы и конечны. В случае, когда , группы и являются конечно порожденными абелевыми группами ранга 1 (см. [1], [2]). Вычислено также множество классов конкордантных гладких вложений в при (см. [3]).

Изучение М. у. коразмерности 2, к-рые в дальнейшем будут наз. просто узлами, проходит почти аналогично во всех трех категориях (Diff, Pl, Top). При всякий топология, узел переводится изотопией в гладкий. Однако существуют топологич. трехмерные узлы в , не эквивалентные и даже не кобордантные гладким узлам (см. [4]).

Множество изотопич. классов re-мерных узлов (каждой категории) образует абелеву полугруппу относительно связного суммирования. Известно, что при n= 1 в этой полугруппе всякий элемент представляется в виде конечной суммы простых, т. е. нетривиальным образом неразложимых элементов, и такое разложение единственно n -мерный узел тривиален тогда и только тогда, когда при всех Дана (см. [6]) алгебраич. классификация узлов К, у к-рых при всех и число пнечетно (узлы типа L):при n>=5 множество изотопич. классов таких узлов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством S-эквивалентных классов Зейферта матриц. Узлы типа Lважны с точки зрения приложений в алгебраич. геометрии, т. к. среди них находятся все узлы, получаемые с помощью следующей конструкции (см. [15]). Пусть комплексный многочлен ненулевой степени, имеющий О в качестве изолированной особой точки и f(0)=0. Пересечение кгиперповерхности с малой сферой с центром в нуле является (q-2)-связным -мерным многообразием. Многообразие кгомеоморфно сфере тогда и только тогда, когда , где полином Александера. Вэтом случае возникает узел . Такие узлы наз. алгебраическими, все они являются узлами типа L.