Математическая энциклопедия - узел

1) У.тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

G - область единственности, в окрестности особой точки х 0. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х 0 такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт а положительные полутраектории асимптотическими (не выходя из U, примыкают к х 0,причем, будучи дополнены точкой х 0, касаются в ней определенных направлений), или наоборот. У. наз. при этом и сама точка х 0.

У. либо асимптотически устойчив по Ляпунову, либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при Индекс Пуанкаре для У. равен 1.

Для системы (*) класса с ненулевой матрицей А=f' (х 0 )точка покоя х 0 является У., когда собственные значения матрицы Адействительны и удовлетворяют условиям но может быть У. и в тех случаях, когда В случае точка х 0 будет У., если при несоблюдении этого условия она может оказаться фокусoм. В любом из перечисленных выше случаев траектории системы, примыкающие к У. х 0, касаются в этой точке направлений, определяемых собственными векторами матрицы А. Если то существует четыре таких направления (если различать диаметрально противоположные); при этом все траектории системы касаются в точке х 0 направлений, соответствующих собственному значению за исключением двух траекторий, к-рые касаются в х 0 направлений, соответствующих собственному значению (рис. 1). Это обыкновенный У. Если то собственными для матрицы Ав точке х 0 будут либо лишь два противоположных направления (в этом случае У, наз. вырожденным, рис. 2), либо все направления. В последнем случае при условии каждого направления касается в точке х 0 единственная траектория системы. Такой У. наз. дикритическим (рис. 3).

Если система (*) линейна (f(x) = A( х-x0), Aпостоянная матрица), то для нее точка х 0 является У. лишь в тех случаях, когда собственные значения матрицы Адействительны и Любой луч x=x0+ps( р - собственный вектор матрицы А, - параметр) является для нее траекторией. Обыкновенный, вырожденный и дикритический У. для линейной системы изображены соответственно на рис. 4, 5, 6. В случае обыкновенного У. все криволинейные траектории являются аффинными образами парабол

Термин лУ.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985