Математическая энциклопедия - многомерная вариационная задача

вариационная задача с частными производными,задача вариационного исчисления, в к-рой требуется определить экстремум функционала, зависящего от функций многих независимых переменных. Обычные вариационные задачи, в к-рых рассматриваются функционалы от функций одной независимой переменной, можно назвать в этом смысле одномерными вариационными задачами.

Примером двумерной вариационной задачи может служить задача, в к-рой требуется определить функцию двух независимых переменных u(x, y), непрерывную вместе со своими частными производными 1-го порядка, доставляющую экстремум функционалу

при граничном условии

где Iзамкнутый контур, ограничивающий область D заданная функция,дважды непрерывно дифференцируемая функция по совокупности своих аргументов. Пусть и( х, у )есть решение задачи (1), (2). Подстановка функций сравнения числовой параметр, в функционал (1), дифференцирование по и приравнивание позволяет получить следующее выражение для первой вариации функционала

Если имеет непрерывные производные 2-го порядка, то легко показать, что необходимым условием равенства нулю первой вариации является выполнение условия

Уравнение (4) наз. уравнением Эйлера Остроградского (иногда уравнением Остроградского). Этому уравнению должна удовлетворять функция , доставляющая экстремум функционалу (1) при граничных условиях (2). Уравнение Эйлера Остроградского является аналогом уравнения Эйлера для одномерных вариационных задач. В развернутом виде (4) представляет собой уравнение с частными производными 2-го порядка.

В случае тройного интеграла и функции , зависящей от трех независимых переменных, уравнение Эйлера Остроградского принимает вид:

Следующее условие является аналогом Лежандра условия. Для того чтобы функция доставляла хотя бы слабый экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы в каждой внутренней точке области Dвыполнялось условие

Для минимума необходимо , а для максимума

Рассматриваются также разрывные М. в. з. (см. [4]).

Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 2 изд., т. 2, М.Л., 1951; [2] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [3] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955; [4] Керимов М. К., "Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН Груз. ССР", 1951, т. 18, с. 209 19.

И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985