Математическая энциклопедия - множеств теория

наивная учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математич. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве людей, живущих на нашей планете в данный момент времени, о множестве точек данной геометрич. фигуры, о множестве решений данного дифференциального уравнения. Люди, жевущие на нашей планете в данный момент времени, точки данной геометрич. фигуры, решение данного дифференциального уравнения являются элементами соответствующего множества. Множество Асчитается заданным, если указано характеристич. свойство элементов этого множества, т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого множества и только они. Одним из основных понятий М. т. является понятие принадлежности элемента множеству. В качестве обозначения того, что предмет апринадлежит множеству А, пишут . (Если ане принадлежит А, то пишут ) Может случиться, что характеристич. свойством, определяющим множество А, не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что множество Апустое и пишут . Напр., множество действительных решений уравнения пустое. Если каждый элемент множества Аявляется в то же время элементом множества В, то множество А наз. подмножеством множества Ви пишут . Если одновременно выполнено и , то говорят, что множества Аи Вравны и пишут А = В. Объединением множеств Аи В наз. множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аи В. Пересечением множеств Аи Вназ. множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В. Операции объединения и пересечения коммутативны, ассоциативны и взаимно дистрибутивны. Например, . Во многих разделах М. т. рассматриваются только такие множества, к-рые содержатся в нек-ром фиксированном множестве X. Если Аподмножество X и Рсвойство, характеризующее элементы из А, то пишут истина}. Напр., если Xмножество всех действительных чисел, а Аподмножество положительных чисел, то . Если , то множество наз. дополнением множества А . Операции объединения, пересечения идополнения связаны т. н. законамиде Моргана. Напр.,Раздел М. т., к-рый занимается исследованием операций над множествами (не только конечных, но и бесконечных операций), наз. алгеброй множеств. Алгебра множеств в свою очередь является частным случаем теории булевых алгебр.

М. т. была создана работами математиков 19 в., к-рые ставили себе целью разработку оснований математич. анализа. Уже в первых работах в этой области [Б. Больцано (В. Bolzano), П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond), P. Дедекинд (R. Dedekind)], в к-рых рассматривались числовые множества или множества функций, ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств. Является ли бесконечность множества чисто отрицательным свойством, не допускающим расчленения, или же существуют различные ступени математпч. бесконечности, бесконечные множества различной количественной силы, различной "мощности"? Ответ на этот вопрос дал Г. Кантор (G. Cantor, 1871-83), к-рый представил почти современное изложение теории кардинальных чисел и порядковых чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия (или биекции) между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества Асоответствует в силу какого бы то ни было правила или закона нек-рый определенный элемент множества В, если при этом каждый элемент множества Воказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами Аи В установлено взаимно однозначное соответствие (или биективное отображение, или биекция). Между двумя конечными множествами можно установить биекцию тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщении этого факта Г. Кантор определил количественную эквивалентность, или равномощность, как возможность установить между ними взаимно однозначное соответствие. Если множество Аравно-мощно множеству В, то множества Аи В имеют одно и то же кардинальное число. Ценность понятия мощности множества определяется существованием не-равномощных бесконечных множеств. Напр., множество всех действительных чисел и множество всех натуральных чисел имеют разные мощности. Первое имеет мощность континуума, а второе счетное множество. В каждом бесконечном множестве Аимеется собственное подмножество, равномощное всему А, в то же время как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества.

Заслуга Г. Кантора состоит не только в решении проблемы мощности множества, но и в том решительном шаге, к-рый сделал он, рассмотрев множества, состоящие из элементов произвольной природы. О том, что шаг к общности был трудным, свидетельствуют, во-первых, различные противоречия ( антиномии), открытые разными учеными к началу 20 в. и приведшие к созданию аксиоматической теории множеств, и, во-вторых, то, что естественным образом возникшие задачи (напр., континуум-гипотеза )оказались неразрешимыми.

Дальнейший вклад в М. т. внес Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff), разработав теорию линейно упорядоченных множеств и применив М. т. к топологии, он заложил основы теории топологических пространств (или общей топологии). Далее, А-операция, возникшая при исследовании борёлевских множеств, привела к созданию дескриптивной теории множеств. Из ряда задач комбинаторной математики и теории графов возникла комбинаторная теория множеств. Наконец, открытия, сделанные К. Гёделем (К. Godel) и П. Коэном (P. Cohen) в аксиоматич. теории множеств существенно повлияли на методы и развитие М. т.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в общую теорию множеств и функций, М.Л., 1948; [2] Больцано Б., Парадоксы бесконечного, пер. с нем., Одесса, 1911; [3] Учение о множествах Георга Кантора, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике. Сб. № 6); [41 Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.Л., 1937; [5] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [6] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.

Б. А. Ефимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985