Математическая энциклопедия - корреляция

дуальное преобразование,взаимно однозначное отображение проективного пространства П n на себя такое, что из следует . При К. образом суммы подпространств является пересечение их образов и, наоборот, образом пересечения является сумма образов, в частности образ точки гиперплоскость, а образ гиперплоскости точка. Для существования К. пространства П n(K) над телом Кнеобходимо и достаточно, чтобы в Ксуществовал инверсный автоморфизм: взаимно однозначное отображение при к-ром в этом случае П n (К).оказывается двойственным самому себе. Примерами пространств, для к-рых существует К., являются вещественные комплексные кватернионные проективные пространства.

Пусть ПД интерпретируется как совокупность линейных подпространств (левого) линейного пространства над телом К;полубилинейной формой на А п+1 наз. функция зависящая от инверсного автоморфизма а тела Ки обладающая следующими свойствами:

В частности, если наз. билинейной формой,напр., если в случае и то наз. эрмитовой; если же К=Н и то наз. симплектической. Тогда для любого образ К. совпадает с совокупностью решении хуравнения

(говорят также, что каждая К. представима полубилинейной формой теорема Биркгофа Неймана).

Подпространство Wназ. нулевым относительно К. если для любой точки Если представима формой для всех (в частности,). Напр., строго изотропное подпространство (т. е. подпространство Uтакое, что является нулевым, причем на нем f(U, U)=0; нулевая прямая либо неизотропна, либо строго изотропна. Все максимальные нулевые подпространства К. имеют одну и ту же размерность. Если w=П n, то К. наз. нульполярной (нулевой) и является (симплекти-ческим) поляритетом.

Обобщение понятия К.дуальное отображение проективных пространств: взаимно однозначное отображение такое, что если оно существует, если есть инверсный изоморфизм Напр., пусть L=K* совокупность элементов К, в к-рой операции сложения и умножения определены следующим образом: (см. Проективная алгебра, конструкция II). Тогда К* - тело, инверсно изоморфное К;если П n (Х) левое, то правое проективные пространства, и они канонически двойственны друг другу.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985