Математическая энциклопедия - корниша - фишера разложение

асимптотическое разложение разности между соответствующими квантилями нормального распределения и какого-либо близкого к нему распределения по степеням малого параметра; изучено Э. Корнишем и Р. Фишером [1]. Если F(x, t) - функция распределения, зависящая от параметра t, Ф (х) - функция нормального распределения с параметрами (0, 1), причем при то при определенных условиях на F(x, t) К.Ф. р. функции (F^-1 - функция, обратная к F)имеет вид

где Si(z) - некоторые многочлены от z. Аналогично

определяется К.Ф. р. функции

(Ф ^-1 функция, обратная к Ф) по степеням х:

где Qi(x) - некоторые многочлены от х. Формула (2) получается при разложении функции Ф ^-1 в ряд Тейлора в точке Ф (х)и использовании Эджворта разложения. Разложение (1) является обращением формулы (2).

Если X - случайная величина с функцией распределения F(x, t), то величина Z=Z (Х)=Ф ^-1[Р( Х, t)] имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1) и, как следует из (2), функция распределения величины

лучше аппроксимируется при t-> 0 функцией Ф (х), чем функция F(x, t). Если Xимеет нулевое математич. ожидание и единичную дисперсию, то первые члены разложения (1) имеют следующий вид

где

cr есть r-й семиинвариант X,

Hr(z).многочлены Эрмита, определяемые соотношением

О разложениях для величин с предельными законами из семейства распределений Пирсона см. [3]. См. также

Случайных величин преобразование.

Лит.:[1] С о г n i s h E. A., F i s h e г R. A., "Rev. Inst. internat. statist.", 1937, v. 5, p. 307-20; [2] К e н д а л л М., С ть ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [3] Б о л ь ш е в Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1963, т. 8, с. 129 55. В. И. Пагурова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985