Математическая энциклопедия - отражение

движение s n -мерного односвязного пространства постоянной кривизны Х ^п (т. е. евклидова аффинного пространства Е ⁿ, сферы Sⁿ или пространства Лобачевского ), множество неподвижных точек Г к-рого является п-1 мерной гиперплоскостью. Множество Г наз. зеркалом отображения s; говорят также, что s ость О. относительно Г. Всякое О. однозначно определяется своим зеркалом. Порядок О. в группе всех движений Xⁿ равен 2, то есть .

Пусть и . Выбор хв качестве начала координат позволяет отождествить евклидово аффинное пространство Е ⁿ с линейным евклидовым пространством Vⁿ его параллельных переносов. Тогда отражение s линейное ортогональное преобразование пространства Vⁿ, имеющее в нек-ром ортонормированием базисе матрицу

и наоборот, всякое ортогональное преобразование пространства Vⁿ, имеющее в нек-ром ортонормированием базисе такую матрицу, является О. в Е ⁿ. Более общо: линейное преобразование j произвольного векторного пространства Wнад полем kхарактеристики, отличной от 2, наз. линейным отражением, если j²=idW и ранг преобразования 1-j равен 1. В этом случае подпространство W1 неподвижных относительно j векторов имеет в Wкоразмерность 1, а подпространство W-1 собственных векторов с собственным значением -1 имеет размерность 1 и . Если a такая линейная форма на И', что a(w)=0 при , а . такой элемент, что a (h)=2, то j задается формулой

Описание О. в произвольном одпосвязном пространстве Xⁿ постоянной кривизны может быть сведено к описанию линейных О. следующим способом. Всякое такое пространство Xⁿ вкладывается в виде гиперповерхности в действительное (n+1)-ыерное векторное пространство Vⁿ⁺¹ таким образом, что движения Xⁿ продолжаются до линейных преобразовании Vⁿ⁺¹, причем в подходящей системе координат в Vⁿ⁺¹ уравнения указанной гиперповерхности записываются следующим образом:

При этом вложении всякая гиперплоскость в Xⁿ есть пересечение с Xⁿ нек-рого n-мерного подпространства в Vⁿ⁺¹, а всякое О. в X ^п индуцировано линейным О. в Vⁿ⁺¹.

Если в определении линейного О. отказаться от требования j²=idW, то получается более общее понятие псевдоотражения. Если k - поле комплексных чисел, а j псевдоотражение конечного порядка (не обязательно равного 2), то ф наз. комплексным отражением. Комплексным О. наз. также всякий биголоморфный автоморфизм конечного порядка ограниченной симметрич. области в комплексном пространстве, множество неподвижных точек к-рого имеет комплексную коразмерность 1.

См. также Отражений группа.

Лит.:[1] Бурбаки II., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1972; [2] Винберг Э. Б., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, .№ 5, с. 1072-112; [3] Gottschling E., "Comm. Pure and Appl. Math.", 1969, v. 22, p. 693-714; [4] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985