Математическая энциклопедия - отрицательное биномиальное распределение

распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, ... в соответствии с формулой

при любых действительных значениях параметров 0<р<1 и r>0. Производящая функция и характеристич. функция О. б. р. задаются формулами

и

где q=1- р. Математич. ожидание и дисперсия равны соответственно rq/p и rq/p². Функция распределения О. б. р. для значений k=0,1,2,... определяется через значения функции бета-распределения в точке рследующим соотношением:

где В (r, k + 1) бета-функция.

Происхождение термина "О. б. р." объясняется тем, что это распределение порождается биномом с отрицательным показателем, а именно, вероятности являются коэффициентами разложения по степеням z.

О. б. р. встречается во многих приложениях теории вероятностей. При целом r>0 О. б. р. интерпретируется как распределение времени ожидания г-го "успеха" в схеме Бернулли испытаний с вероятностью "успеха" р;в такой форме оно наз. обычно Паскаля распределением и является дискретным аналогом гамма-распределения. При r=1 О. б. р. совпадает с геометрическим распределением. Часто О. б. р. появляется в задачах, связанных с рандомизацией параметров распределений, напр, если Yслучайная величина, имеющая Пуассона распределение со случайным параметром l, к-рый в свою очередь имеет гамма-распределение с плотностью

то распределение Yбудет О. б. р. с параметрами r=m и . О. б. р. служит предельной формой Пойа распределения.

Сумма независимых случайных величин Х 1,...,Х n, имеющих О. б. р. с параметрами ри соответственно, имеет О. б. р. с параметрами ри

. При больших r и малых q, когда О. б. р. приближается распределением Пуассона с параметром l. Многие свойства О. б. р. определяются тем фактом, что оно представляет собой обобщенное распределение Пуассона.

Лит.:[1] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985