Математическая энциклопедия - гамма-распределение

непрерывное сосредоточенное на положительной полуоси распределение вероятностей с плотностью

где параметр, принимающий положительные значения, и гамма-функция Эйлера

Соответствующая функция распределения при равна нулю, а при выражается формулой

Интеграл в правой части наз. неполной гамма-функцией. Плотность унимодальна и при достигает максимума в точке . При плотность с ростом хмонотонно убывает, причем если неограниченно возрастает. Характеристич. функция Г.-р. имеет вид

Моменты Г.-р. выражаются формулой

в частности, математич. ожидание и дисперсия равны . Г.-р. замкнуто относительно операции свертки:

Г.-р. играют не всегда явную, но значительную роль в приложениях. В частном случае получается показательная плотность. В теории массового обслуживания Г.-р. при К, принимающем целочисленные значения, наз. Эрланга распределением. В математич. статистике Г.-р. часто встречаются благодаря тесной связи с нормальным распределением, т. к. сумма квадратов взаимно независимых (0,1) нормально распределенных случайных величин имеет плотность и наз. хи-квадрат плотностью с пстепенями свободы. Ввиду этого с Г.-р. связаны многие важные распределения в задачах математич. статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределенных случайных величин (напр., Стьюдента распределение, F -распределение и z-распределение Фишера). Если X1 и Х 2 независимы и распределены с плотностями и , то случайная величина имеет плотность

к-рая наз. плотностью бета-распределения. Плотности линейных функций от случайных величин X, подчиняющихся Г.-р., составляют специальный класс распределений так наз. "тип III" семейства распределений К. Пирсона (К. Pear-son). Плотность Г.-р. является весовой функцией системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения функции Г.-р. можно вычислить по таблицам неполной гамма-функции (см. [1]).

Лит.:[1] Пагурова В. И., Таблицы неполной гамма-функции, М., 1963. А.