Математическая энциклопедия - гамильтона уравнения

канонические обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка, описывающие движения голономных механич. систем под действием приложенных к ним сил, а также экстремали задач классического вариационного исчисления.

Г. у., установленные У. Гамильтоном [1], эквивалентны Лагранжа уравнениям2-го рода (или Эйлера уравнениям в классическом вариационном исчислении), в к-рых неизвестными являются обобщенные координаты , а также и Вместо обобщенных скоростей У. Гамильтон ввел в рассмотрение обобщенные импульсы

где Лагранжа функция, п - число степеней свободы системы, и определил функцию

наз. ныне Гамильтона функцией. В правой части (2) переменные заменяются их выражениями получаемыми разрешением уравнений (1). Для динамич. систем, у к-рых

такое разрешение всегда возможно. Г. у. имеют вид канонпч. уравнений

Здесь обозначают непотенциальные обобщенные силы, если они действуют на систему. Число уравнений (3) равно числу 2п неизвестных

Порядок системы (3) как и системы уравнений Лагранжа 2-го рода, равен 2n.

Переход от переменных и функции Лагранжа Lк переменным и функции Гамильтона Я, согласно формулам (1) и (2), представляет собой Лежандра преобразование. Г. у. имеют определенные преимущества по сравнению с уравнениями Лагранжа, что обусловило их большую роль в аналитич. механике. См. также Гамильтонова система.

Лит.:[i] Hamilton W. R., "Philos. Trans. Roy. Soc. London", 1835, pt 1, p. 95-144. В.