Математическая энциклопедия - гамма-функция

Г-функция,трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения

иа к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление ( эйлеров интеграл второго рода)

верное для . Многозначность функции устраняется формулой с действительным In х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

Если и то Г.-ф. может быть представлена интегралом КошиЗальшюца:

На всей плоскости z с выброшенными точками z=0, 1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где причем In sесть ветвь логарифма, для к-рой ; контур Сизображен на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что мероморфная функция. В точках она имеет простые полюсы с вычетами !

Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

или

если целое, при этом считают .

2) Формула дополнения Эйлера:

В частности,

если n>0целое, то

у - действительное.

3) Фор мула умножения Гаусса:

При m=2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При или имеет место асим-птотич. разложение вряд Стирлинга:

где Бернулли числа. Из чего следует равенство

В частности

Более точной является формула Сонина [6]:

5) В действительной области для и принимает знак на участках (см. рис. 2). Для всех действительных хсправедливо неравенство т. е. все ветви как , так и выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения с точностью до постоянного множителя.

Для положительных хГ.-ф. имеет единственный минимум при х=1,4616321 ..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции при образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

6) В комплексной области, при , Г.-ф. быстро убывает при

7) Функция 1/Г (z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при

где

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса: