Математическая энциклопедия - бюрмана - лагранжа ряд

ряд Лагранжа, степенной ряд, полностью решающий задачу локального обращения голоморфных функций. Именно, пусть функция комплексного переменного z регулярна в окрестности точки , причем и . Тогда в нек-рой окрестности точки плоскости определена регулярная функция , обратная по отношению к и такая, что при этом, если любая регулярная в окрестности точки функция, то сложная функция разлагается в окрестности точки w=b вряд Бюрмана Лагранжа

Случай непосредственного обращения функции получается при .

Разложение (*) вытекает из теоремы Бюрмана [1]: при указанных выше предположениях относительно голоморфных функций последняя в нек-рой области на плоскости z, содержащей точку а, может быть представлена в виде:

контур на плоскости t, содержащий внутри точки а и z и такой, что если какая-либо точка внутри , то уравнение не имеет ни на , ни внутри иных корней, кроме простого корня .

Разложение (*) для случая было получено Ж. Лагранжем [2].

В случае, когда производная имеет в точке нуль порядка r1, В. -Л. р. для многозначной обратной функции допускает следующее обобщение (см.[3]):

Другое обобщение (см., напр., [4]) относится к функциям , регулярным в кольце; оно приводит вместо ряда (*) к ряду по положительным и отрицательным степеням разности .

Лит.:[1] Burmann H., "Mem. de 1'Inst. national des sci. et arts. Sci. Math, et Phys.", P., 1799, t. 2, p. 13-17; [2]

Lagrange J. L., "Mem. de Г Academic royale des sci. et belles-lettres de Berlin", 1770, t. 24; CEuvres, t. 2, P., 1868 p. 581 652; [3] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 1, гл. 8; [4] Уиттекер 3. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1962; [5] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985