Математическая энциклопедия - гиббса явление

особенность поведения частных сумм (или их средних) рядов Фурье. Впервые обнаружена Г. Уилбрейамом [1] и значительно поеже переоткрыта Дж. Гиббсом [2]. Пусть частные суммы ряда Фурье функции f(x) сходятся к в нек-рой окрестности точки , в к-рой

В точке x0, имеет место Г. я. для sn(x), если , где

Геометрически это означает, что графики (рис.) частных сумм при и приближаются не к "ожидаемому" отрезку по оси ординат, а к строго большему отрезку . Аналогично определяется Г. я. для средних от частных сумм ряда Фурье при суммировании его тем или иным методом.

Для -периодич. функций f с ограниченным изменением на справедливы, напр., утверждения (см. [3]).

1) В точках неустранимого разрыва (и только в них) имеет место Г. я. для . В частности, если при , то для точки отрезок , а отрезок , где

2) Существует такая абсолютная постоянная , что средние Чезаро при не имеют Г. я., а при оно наблюдается в каждой точке неустранимого разрыва функции f.

Лит.: [1] Willbrahаm Н., "Cambridge and Dublin Math. J.", 1848, v. 3, p. 198-201; [2] Gibbs J. W., "Nature", 1S98, v. 50, p. 200; [3]Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, 2, М., 1965. П. Л. Ульянов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985