Математическая энциклопедия - хилла уравнение

обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

с периодич. функцией p(z);все величины могут быть комплексными. Уравнение наавано по имени Дж. Хилла [1], к-рый, изучая движение Луны, получил уравнение

с действительными числами причем ряд сходится.

Дж. Хилл дал метод решения X. у. с использованием определителей бесконечного порядка. Это явилось толчком для создания теории таких определителей и, далее, для создания Э. Фредгольмом (Е. Fredholm) теории интегральных уравнений. Для X. у. ставятся прежде всего задачи устойчивости решений, существования или отсутствия периодич. решений. Если в действительном случае в X. у. ввести параметр:

то, как установил А. М. Ляпунов [2], существует такая бесконечная последовательность

что при X. у. устойчиво, а при Х. у. неустойчиво. При этом и являются собственными значениями периодич. краевой задачи, а и -собственными значениями полупериодич. краевой задачи. Хорошо изучена теория Х.