Математическая энциклопедия - лонгмана метод

метод приближенного вычисления определенного интеграла

где f(х).имеет точно и корней х;внутри промежутка [ а, b]:

и удовлетворяет формулируемым ниже условиям. Пусть

тогда I= S, где

Предполагается, что f(x).сохраняет знак на промежутке [xi, xi+1]. и имеет разные знаки на соседних промежутках, при этом Такую функцию f(x).наз. колеблющейся. Вычисление I с помощью квадратурной формулы при большом и затруднительно, т. к. хорошее приближение колеблющейся функции на всем промежутке [ а, b]практически невозможно. Использование равенства I=S приводит к вычислению всех интегралов vj, что также нецелесообразно в случае большого п.

Приближенное Вычисление I в Л. м. основано на равенстве

В равенство (1) входят конечные разности vj как функции дискретного аргумента j:

Если функция vj такова, что в правой части (1) можно пренебречь слагаемыми, содержащими конечные разности порядка р, то приближенное равенство

можно использовать для вычисления S. Чтобы вычислить правую часть (2), достаточно знать рпервых значений vj,т. е. значения up последних значений Л. м. и состоит в использовании равенства (2).для приближенного вычисления суммы S.

Если в интеграле I верхний предел интегрирования и то вместо (1) следует воспользоваться равенством

(преобразование Эйлера) и ряд в правой части заменить частичной суммой. Метод предложен И. Лонгманом [1].

Лит.:El] L о n g m a n I. M., "Math. Comput.", 1960, v. 14, № 69, p. 53-59; [2] D a v i s P. J., R a b i n о w i t z P., Methods of numerical integration, N. Y., 1975.

И. П. Мысовских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985