Математическая энциклопедия - лопиталя правило

раскрытие неопределенностей вида сведением предела отношения функций к пределу отношения производных рассматриваемых функций. Так, для случая, когда действительные функции f и gопределены в проколотой правосторонней окрестности точки ачисловой оси, Л. п. имеет вид

Как в случае неопределенности типа 0/0, т. е. когда

так и в случае т. е. когда

Л. п. справедливо при условиях, что функции f и gдифференцируемы на нек-ром интервале для всех точек и существует конечный или бесконечный предел отношения производных

(в случае неопределенности типа этот предел, если он бесконечный, может быть только бесконечностью определенного знака); тогда существует и предел отношения функций и справедливо равенство (*). Это утверждение с естественными видоизменениями остается верным как для случая левостороннего, так и для случая двустороннего предела, а также тогда, когда или

При практическом отыскании пределов отношения функций с помощью Л. п. иногда приходится применять его несколько раз подряд.

При сделанных выше предположениях существование предела отношения производных f'(x)/g'(x).является достаточным условием существования предела отношения f(x)/g(x).самих функций, но не необходимым.

Лит.:[1] Лопиталь Г. Ф., Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М.-Л., 1935; [2] Н и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985