Математическая энциклопедия - нефредгольмово интегральное уравнение

интегральное уравнение, для к-рого неверны те или иные Фредгольма теоремы. Иногда Н. и. у. наз. особым интегральным уравнением.

Так, напр., интегральное уравнение Фурье

имеет решение

где апроизвольное положительное число; собственному значению уравнения (1) соответствует бесконечное множество линейно независимых решений, т. е. для уравнения (1) перестает быть справедливой теорема Фредгольма о том, что однородное уравнение имеет конечное число линейно независимых решений. В случае интегрального уравнения Лалеско Пикара

любое является собственным значением, а именно, любому положительному числу соответствуют два линейно независимых решения:

Следовательно, для уравнения (2) перестает быть справедливой теорема Фредгольма о том, что множество собственных значений уравнения но более чем счетно.

Подробно разработаны теории двух классов Н. и. у.: уравнений, в к-рых искомая функция содержится под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения ( сингулярные интегральные уравнения);уравнения, в к-рых искомая функция содержится под знаком интегрального преобразования свертки ( интегральные уравнения типа свертки). Для таких уравнений, вообще говоря, нарушается равенство чисел линейно независимых решений однородных союзных (сопряженных) уравнений, а также альтернатива Фредгольма.

Лит.:[1] Привалов И. И., Интегральные уравнения, 2 изд., М.Л., 1937; [2] Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 2 изд., М.Л., 1951. См. также лит. при статьях Интегральное уравнение типа свертки и Сингулярные интегральные уравнения.

Б. В. Хведелидзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985