Математическая энциклопедия - неизмеримое множество

множество, не являющееся измеримым множеством. Подробнее: множество X, принадлежащее наследственному -кольцу , неизмеримо, если здесь Sесть -кольцо, на к-ром задана мера , а и внешняя и внутренняя меры соответственно (см. Мера).

Для интуитивного овладения понятием Н. м. полезно следующее "эффективное построение" его.

Пример 1. Пусть

единичный квадрат,

множество,соответствующее измеримому по Лебегу множеству Емеры , и пусть . Тогда множество будет Н. м., причем

Наиболее ранняя и простейшая конструкция Н. м. принадлежит Дж. Витали (G. Vitali, 1905).

Пример 2. Пусть множество всех рациональных чисел. Тогда множество X(множество Витали), имеющее согласно аксиоме выбора с каждым из множеств вида где любое действительное число, ровно по одному общему элементу, является Н. м. Ни одно из множеств Витали не обладает Бэра свойством.

Пример 3. Пусть В, (С)множество чисел вида иррациональное число, то, п - целые, с четным п(с нечетным га), а множество, полученное также с помощью аксиомы выбора из классов эквивалентности множества действительных чисел по отношению:

Пусть . Тогда для всякого измеримого множества Еимеют место равенства:

На возможности ввести полное упорядочение во множестве мощности континуума основана еще одна конструкция Н. м.

Пример 4. Существует множество такое, что и пересекаются с каждым несчетным замкнутым множеством. Любое такое множество (множество Бернштейна) неизмеримо (и не обладает свойством Бэра). В частности, любое множество положительной внешней меры содержит Н. м.

Помимо инвариантности относительно сдвига (пример 2) и топологич. свойств (пример 3) есть причины и теоретико-множественной природы, по к-рым невозможно определить нетривиальную меру для всех подмножеств данного множества, в этом, напр., состоит теорема Улама (см. [2]) для множеств ограниченной мощности.

Неизвестен (1982) ни один конкретный пример Н. м., для построения к-рого не использовалась бы аксиома выбора.

Лит-:[1] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [2] Окстоби Д ж., Мера и категория, пер. с англ., М., 1974; [3] Гелбаум В., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе, пер. с англ., М., 1967.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985