Математическая энциклопедия - никольского пространство

банахово пространство , состоящее из функций, определенных на открытом множестве n-мерного евклидова пространства и обладающих определенными разностно-дифференциальными свойствами, характеризующимися вектором в метрике Введены С. М. Никольским.

Н. п.можно описать в терминах свойств разностей от частных производных порядка по переменной

, где целое,

если через обозначить разность порядка с шагом по переменной xi функции f, то

тогда и только тогда, когда функция f имеет в W обобщенные частные производные

и при имеет место неравенство

а при неравенство

где множество точек удаленных от границы множества больше чем на произвольно.

Пространство определяется как объединениевсех при всевозможных

Если , то при любых Н. п. не пусто и в нем существуют функции, не принадлежащие Н. п.

ни при каком и ни при каком i=l, 2, ..., п.

В случае , не целых ri и непрерывности рассматриваемых производных Н. п. является гёльдеровым пространством. Понятие Н. п. обобщается на случай функций, определенных на достаточно гладких многообразиях (см. [2]).

Имеется описание Н. п. в терминах свойств разностей от частных производных, меньших чем порядков, в частности в терминах свойств разностей достаточно высокого порядка от самой функции.

Пусть изотропное пространство, т. е. r1= ... = rn=r. Если область такова, что любую функцию f класса можно продолжить с сохранением класса на все пространство , т. е. так, что продолженная функция будет принадлежать классу (это всегда имеет место, если граница области достаточно гладкая), то для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для любых целых неотрицательных к ч s таких, что у функции f существовали все частные производные порядка s и существовала постоянная для к-рой выполнялись неравенства

где разность k- гопорядка с векторным шагом hот функции . Условие (1) эквивалентно аналогичному условию для модуля непрерывности производной : существует такое M>0, что

где

Если для функции через Mf обозначить нижнюю грань всех M, для к-рых выполняется условие (1) для всех и всех частных производных допустимого порядка .s, то

является нормой в Н. п., причем нормы, получающиеся при различных допустимых парах k, s, эквивалентны между собой.

Н. п., состоящее из функций, определенных на всем пространстве , можно охарактеризовать в терминах наилучших приближений функций из этого пространства с помощью целых функций экспоненциального типа. Пусть наилучшее приближение в метрике Lp(Rⁿ )функций при помощи целых функций экспоненциального типа степеней соответственно по переменным . Для Н. п. справедливы следующие прямая и обратная теоремы типа теорем Бернштейна, Джексона, Зигмунда.

Если функция то для любых выполняется неравенство

(постоянная с>0 не зависит от функции f).