Математическая энциклопедия - океанологии математические задачи

математические задачи в области физики, химии, геологии и биологии океана. В физике океана это прежде всего задачи геофизич. гидродинамики (определяемой как гидродинамика природных течений вращающихся бароклинных стратифицированных жидкостей). Вращение Земли, существенно влияющее на крупномасштабные течения (глобальных и синоптич. масштабов), и стратификация, т. е. изменение плотности среды по направлению силы тяжести (вертикали), создают специфич. анизотропию индивидуальных гидродинамич. полей в океане или их статистич. характеристик, к-рую необходимо учитывать, напр., при выборе базисных функций для описания этих полей по методу Галеркина, при объективном анализе (интерполяции, экстраполяции, сглаживании) эмпирич. данных об этих полях и выборе статистич. моделей для вертикально-неоднородных случайных полей турбулентности и внутренних волн.

Аналитич. описание собственных колебаний океана при помощи линеаризированных уравнений гидродинамики затрудняется из-за неправильной формы его границ дна и берегов, что делает невозможным использование решений с разделяющимися неременными. Поэтому в теории приливов, в к-рой существенна возможность резонансных реакций океана на приливообразующие силы, имеются аналитич. расчеты лишь для модельных океанов правильной формы (напр., ограниченных отрезками меридианов и параллелей). В реальной же геометрии последовательные (возрастающие) собственные частоты должны определяться как экстремумы квадратичных интегральных функционалов, родственных энергии, на экстремалях, подбираемых по методу Галеркина; такой подход полностью еще не реализован. В теории приливов заметна не только линейная, но и нелинейная реакция океана на приливообразующие силы, к-рая может быть описана при представлении высоты прилива в виде функционального степенного ряда по приливообразующим силам; функциональные коэффициенты такого ряда описывают свойства океана как резонансной системы.

Для океана специфично наличие среди решений уравнений гидродинамики нескольких классов волн акустических, поверхностных (капиллярных и гравитационных), внутренних гравитационных, инерционных (включая баротропные и бароклинные волны Росби Блиновой, образующиеся вследствие изменения с широтой вертикальной проекции угловой скорости вращения Земли) и, наконец, гидромагнитных, возникающих при движениях электропроводной жидкости (соленой морской воды) в геомагнитном поле. Построение отдельных классов волновых решений (и динамич. уравнений для них) осуществляется при помощи асимптотич. методов нелинейной механики, родственных методу Ван дер Поля, в виде асимптотич. рядов по степеням малых параметров, стоящих при "лишних" производных по времени. Примером служит т. н. квазигеострофич. разложение, отфильтровывающее из числа решений уравнений гидродинамики быстрые волны и выделяющее класс волн Росби-Блиновой.

Волны в океане, как правило, нелинейны. Для длинных нелинейных волн, поверхностных и внутренних, удается вывести уравнение Кортевега-де Фриса н использовать его солитонные и периодические (кноидальные) решения. Для коротких волн сколько-нибудь общих методов нахождения солитонных и периодич. решений еще не построено, и существуют лишь отдельные примеры (капиллярные волны Слезкина Краппера, гравитационные волны Герстнера и Стокса, баротропные и бароклинные солитоны Росби). Недостаточно развиты п статистич. теории нелинейных волновых полей, особенно актуальные для описания поверхностных и внутренних гравитационных волн (для внутренних волн с генерацией ими турбулентных пятен и расплыванием последних в слои вертикальной микроструктуры) и волн Росби (с эволюцией квазидвумерной турбулентности в нелинейное волновое поле).

Одной из важнейших проблем гидродинамики океана является математич. моделирование его циркуляции (в наиболее общей постановке в его взаимодействии с атмосферой через т. н. верхний перемешанный слой океана и пограничный слой атмосферы), причем вследствие большой ширины спектра масштабов пространственных неоднородностей (от миллиметров до 10⁴ километров) моделируемая система здесь имеет огромное число степеней свободы (при миллиметровых элементарных объемах порядка 10²⁸), и неизбежно возникает необходимость их аггрегирования, напр. методом параметризации мелкомасштабных процессов.

При аппроксимации континуальных гидродинамич. уравнений разностными возникают вопросы о порядке аппроксимации, сходимости и устойчивости разностной схемы. В современных т. н. вихреразрешающих моделях циркуляции океана используются пространственные сетки с горизонтальными шагами порядка немногих десятков километров. Конкурирующими могут быть схемы, использующие спектральные (в том числе галеркинские) разложения пространственных гидродинамич. полей.

Основные задачи математич. обработки данных измерений в гидродинамике океана делятся на задачи зондирования (функции от глубины, их разложения на моды, спектры), буксировки (горизонтальные и пространственно-временные спектры с доплеровскими эффектами) и полигонных измерений (временные ряды на трехмерной сетке точек, их спектры и взаимные спектры, объективный анализ, синхронные пространственные картины, четырехмерный анализ волновых полей).