Математическая энциклопедия - отображении классы

важнейшие классы непрерывных отображений, рассматриваемые в общей топологии и ее приложениях. К ним относятся: открытые отображения такие, что образ любого открытого множества является открытым множеством; замкнутые отображения такие, при к-рых образ каждого замкнутого множества замкнут; бикомпактные отображения для них прообраз любой точки является бикомпактным множеством; совершенные отображения замкнутые бикомпактные отображения. Факторные отображения определяются требованием: множество в образе открыто в том и только в том случае, если его полный прообраз открыт. Важны также открытые бикомпактные отображения, псевдооткрытые отображения и уплотнения последние определяются как взаимно однозначные непрерывные отображения на. Таким образом, при классификации отображений в общей топологии ограничения накладываются либо на поведение (при переходе к образу) открытых или замкнутых множеств, либо на свойства прообразов множеств. Второй подход приводит, в частности, к следующим О. к. Монотонные отображенияте, при к-рых прообраз каждой точки нульмерен. Конечнократные отображения характеризуются конечностью всех прообразов точек. Отображения, при к-рых прообраз каждого бикомпактного множества бикомпактен, наз. k-отображениями. Соединением ограничений первого и второго типа выделяются основные классы непрерывных отображений в общей топологии. Самими определениями О. к. естественно организуются в нек-рую иерархию, к-рая может быть положена в основу систематич. классификации топологич. пространств [1]. Эта классификация строится как результат решения вопросов следующих двух типов. Дан класс пространств , целесообразность выделения к-рого не вызывает сомнений, и пусть нек-рый класс отображений из нашей исходной иерархии. Требуется охарактеризовать посредством внутренних топологич. инвариантов образы пространств из класса при всевозможных отображениях из класса . Вопросы второго типа аналогичны требуется охарактеризовать прообразы пространств из класса при отображениях из класса .

При решении вопросов указанных двух типов получаются совсем не очевидные теоремы общего характера. Напр., пространства с первой аксиомой счет-ности это в точности образы метрич. пространств при непрерывных открытых отображениях. Пространства с равномерной базой и только они образы метрит. пространств при открытых бикомпактных отображениях. Пространства Фреше Урысона характеризуются как псевдооткрытые образы метрич. пространств, а секвенциальные пространства это факторпространства метрич. пространств. Далее, прообразы метрич. пространств при совершенных отображениях это в точности паракомпактные перистые пространства, а прообразами полных метрич. пространств являются паракомпактные пространства, полные но Чеху. Непрерывные образы пространств со счетной, базой пространства со счетной сетью. При систематич. следовании указанному пути получается единая взаимная классификация пространств и отображений.

Особую роль среди различных классов непрерывных отображений занимает класс, факторных отображений. Важнейшей особенностью факторных отображений является то, что они могут служить средством для построения новых топологич. пространств. А именно, если дано отображение f топологич. пространства X на нек-рое множество Y(напр., если рассматривается естественное отображение p пространства Xна множество всех ялементов нек-рого разбиения этого пространства), то на множестве Yвсегда можно ввести естественную топологию требованием, чтобы отображение f было факторным: множество объявляется открытым в том и только в том случае, если его полный прообраз f^-1(V).открыт в пространстве X. Помимо уже названных, весьма важны неприводимые отображения, напр, в теории абсолютов. См. также Бифакторное отображение, Многозначное отображение.

Лит.:[1] Архангельский А. В., "Успехи матем. паук", 19"В, т. 21, в. 4, к.133-84. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985