Математическая энциклопедия - ромберга метод

п р а в и л о Р о м б е р г а,метод вычисления определенного интеграла, основанный на Ричардсона экстраполяции. Пусть вычисляется значение I нек-рого функционала, при этом вычисляемое приближенное значение Т(h)зависит от параметра h, так что в результате вычисления получается приближенное равенство . Пусть известна информация о поведении разности I Т(h). как функции от h, а именно:

(1)

где т - натуральное число и a зависит от приближаемого функционала и той функции, на к-рой он вычисляется, от способа приближения и (слабо) от h. Если наряду с Т(h)вычислено Т(2h),то способ Ричардсона дает для Iприближение

(2)

Это приближение тем лучше, чем слабее a из равенства (1) зависит от h. В частности, если a от h не зависит, то и (2) имеет место точное равенство.

Р. м. применяется к вычислению интеграла

Промежуток [0, 1] взят для простоты записи, он может быть любым конечным. Пусть

(3)

Вычисления в Р. м. сводятся к составлению следующей таблицы:

где первый столбец состоят из квадратурных сумм (3) формулы трапеций. Элементы (l+2)-го столбца получаются из элементов (l+l)-гo столбца по формуле

(4)

При составлении таблицы главная часть вычислительного труда затрачивается на вычисление элементов первого столбца. Элементы следующих столбцов вычисляются чуть сложнее конечных разностей.

Каждый элемент таблицы есть квадратурная сумма, приближающая интеграл

(5)

Узлами квадратурной суммы являются точки

, а ее коэффициенты положительные числа. Квадратурная формула (5) точна для всех многочленов степени не выше 2l+1.

В предположении, что подинтегральная функция f(x)имеет непрерывную производную порядка 2l+2на [0, 1], разность имеет представление вида (1), в к-ром т=2l+2. Отсюда следует, что элементы (l+2)-гo столбца, вычисляемые по формуле (4), являются улучшениями по Ричардсону элементов (l+l)-гo столбца. В частности, для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление

и способ Ричардсона дает более точное приближение к I:

оказывается квадратурной суммой формулы Симпсона, и т. к. для погрешности этой формулы справедливо представление

то снова можно воспользоваться способом Ричардсона и т. д.

В Р. м. в качестве приближения к I берется Т 0п, при этом предполагается, что существует непрерывная производная f⁽²ⁿ⁾ (х)на [0, 1]. Ориентировочное представление о точности приближения Т 0п можно получить, сравнивая T0n и T1, n_1.

Впервые метод изложен В. Ромбергом [1].

Лит.:[l] R o m b e r g W., "Kgl. norske vid. selskabs forhandl.", 1955, Bd 28, № 7, s. 30-36; [2] В a u e r F. L., R u t i s h a u s e r H., Stief1 E,, "Proq. Symp. Appl. Math.", 1963, v. 15, p. 199-218. И. П. Мысовских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985